Question

【題目】我們把經(jīng)過原點，頂點落在同一拋物線C上的所有拋物線稱為拋物線C的派生拋物線．

（1）若y1＝﹣x2+4x是拋物線C：y＝ax2+2的派生拋物線，求a的值．

（2）證明：經(jīng)過原點的拋物線y＝﹣mx2+2mx+m﹣2是拋物線C：y＝x2+的派生拋物線；

（3）如圖，拋物線y1，y2，y3，y4…yn都是拋物線C：y＝x2﹣2x+2的派生拋物線，其頂點A1，A2，A3，A4…An的橫坐標分別是1、2、3、4…n，它們與x軸的另一個交點分別是B1，B2，B3，B4…Bn，與原點O構(gòu)成的三角形分別為△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，△OA4B4…△OAnBn．

①請用含n的代數(shù)式表示拋物線yn的函數(shù)表達式；

②在這些三角形中，是否存在兩個相似的三角形，若存在，請直接寫出它們所對應(yīng)的兩個函數(shù)的表達式，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）a＝；（2）見解析；（3）①yn＝﹣（x﹣n）2+n2﹣2n+2，②存在．y1＝﹣（x﹣1）2+1，y2＝﹣（x﹣2）2+2，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)派生拋物線的定義構(gòu)建方程求出a即可；
（2）根據(jù)派生拋物線的定義證明即可；
（3）①設(shè)yn=a（x-n）2+n2-2n+2，因為經(jīng)過原點，可得0=a（0-n）2+n2-2n+2，推出a=
②存在．y1=-（x-1）2+1，y2=-（x-2）2+2，理由：△OA1B1，△OA2B2都是等腰直角三角形；

（1）y1＝﹣x2+4x的頂點坐標（2，4），

∵y1＝﹣x2+4x是拋物線C：y＝ax2+2的派生拋物線，

∴4＝4a+2，

∴

（2）∵拋物線經(jīng)過原點（0，0），

∴m﹣2＝0，

∴m＝2，

∴拋物線的解析式為y＝﹣2x2+4x，頂點（1，2），

當(dāng)x＝1時，

∴拋物線的解析式為y＝﹣2x2+4x，頂點（1，2）在拋物線C：

∴經(jīng)過原點的拋物線y＝﹣mx2+2mx+m﹣2是拋物線C：

（3）①設(shè)yn＝a（x﹣n）2+n2﹣2n+2，

∵經(jīng)過原點，

∴0＝a（0﹣n）2+n2﹣2n+2，

∴a＝

∴yn＝﹣

②存在．y1＝﹣（x﹣1）2+1，y2＝﹣（x﹣2）2+2，

理由：△OA1B1，△OA2B2都是等腰直角三角形．

∴△OA1B1∽△OA2B2.