Question

如圖 ①，點(diǎn)P是正多邊形A₁A₂A₃…A_n的邊A₂A₃上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A₂，A₃重合），M是A₂A₃延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)A₁P．
（1）當(dāng)n=3時(shí)，如圖 ②所示，將線段A₁P繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PN，連結(jié)A₃N．
（i）求證：∠A₂A₁P=∠NPA₃；
（ii）求∠NA₃M的大小；
（2）當(dāng)n=k（k≥4）時(shí)，將線段A₁P繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

(k-2)•180°

k

得到線段PN，連結(jié)A₃N．試猜想∠NA₃M的大小，并說明理由．
 

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）（i）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得∠A₁PA₃=∠A₂A₁P+∠A₂，再根據(jù)角的和差，等量代換，可得答案；
（ii）根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠NQA₃=∠A₁A₃A₂=60°，根據(jù)AAS，可得A₁A₂=PM，再根據(jù)等量代換，線段的和差，可得A₃M=NM，可得等邊三角形，可得答案；
（2）與（1）中（ii）的方法相同，可得A₃Q=NQ，∠NQA3=

(k-2)•180°

k

，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和公式，可得答案．

解答：（1）（i）證明：∵∠A₁PA₃是△A等邊三角形；
∠A₁PA₃是△A₁A₂P的外角，
∴∠A₁PA₃=∠A₂A₁P+∠A₂，
而∠A₁PA₃=∠A₁PN+∠NPA₃，
又∵∠A₂=∠A₁PN=60°，
∴∠A₂A₁P=∠NPA₃；
（ii）解：如圖1：
，
過點(diǎn)N作NM∥A₁A₃交PM于M．
∴∠NMA₃=∠A₁A₃A₂=60°
∴∠A₂=∠NMA₃
在△A₁A₂P和△PMN中，

∠A2A1P=∠MPN ∠A1A2P=∠PMN AP=NP

，
∴△A₁A₂P≌△PMN（AAS），
∴A₁A₂=PM，A₂P=NM．
又∵A₁A₂=A₂A₃，
∴A₂A₃=PM，
∴A₂P=A₃M，
∴A₃M=NM，
∴△A₃NM是等邊三角形，
∴∠NA₃M=60°；
（2）∠NA3M=

180°

k

；                   
證明：如圖2所示，

過N作NQ∥A₄A₃交PM于Q
與（1）中（ii）方法相同易得△A₁A₂P≌△PQN，
A₂P=NQ，PQ=A₁A₂=A₂A₃，
∴A₃Q=NQ，
∴∠NQA3=

(k-2)•180°

k

，
∴△A₃NQ是等腰三角形，
∴∠NA3M=

180°- (k-2)•180° k

2

=

180°

k

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了幾何變換綜合題，利用了三角形的外角的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵，題目稍有難度．