Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO是梯形，其中A（6，0），B（3，），C（1，），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q也同時(shí)從點(diǎn)B沿B→ C→O的線路以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）.

（1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在CO邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△OPQ的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形能構(gòu)成直角三角形嗎？若能，請求出t的值，若不能，請說明理由；

（4）經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的對稱軸、直線OB和PQ能夠交于一點(diǎn)嗎？若能，請求出此時(shí)t的值（或范圍），若不能，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（2≤t≤3）（3）不能（4）能夠交于一點(diǎn)，此時(shí)0≤t≤2

【解析】解：（1）設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為：，

把A（6，0），B（3，），C（1，）代入得：

，解得：。

∴經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為：。

（2）∵可求BC=2，OC=2，OA=6

∴當(dāng)點(diǎn)Q在CO邊上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在OA邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，2≤t≤3。

如圖，過點(diǎn)C作CD⊥x軸的于點(diǎn)D，過點(diǎn)Q作QH⊥x軸的于點(diǎn)H，

則OD=1，CD=，OC=2，。

由△OQH∽△OCD得，，即，

∴。

又∵動(dòng)點(diǎn)P的速度是每秒2個(gè)單位，∴OP=2t。

∴。

∴所求△OPQ的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為：（2≤t≤3）。

（3）根據(jù)題意可知，0≤t≤3。

當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)Q在BC邊上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，OP=2t，。

∵OD=1，CD=，∴。∴。

∵，∴若△OPQ為直角三角形，只能是或。

若，則，即，

解得，或（舍去）。

若，則，即，

解得，。

當(dāng)2＜t≤3時(shí)，點(diǎn)Q在CO邊上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，OP=2t＞4，，OQ＜OC=2，

∴此時(shí)，△OPQ不可能為直角三角形。

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，△OPQ為直角三角形。

（4）由（1）可得，其對稱軸為。

又直線OB的解析式為，

∴拋物線對稱軸與OB的交點(diǎn)為M（0，）。

又P（2t，0），

設(shè)過點(diǎn)P、M的直線解析式為，則

，解得。

∴過點(diǎn)P、M的直線解析式為 。

又當(dāng)0≤t≤2時(shí)，Q，

把代入得

，

∴點(diǎn)Q在直線PM上，即當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)P、M、Q總在一直線上。

當(dāng)2＜t≤3時(shí)，，，∴Q。

代入，解得或，均不合題意，舍去。

綜上所述，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的對稱軸、直線OB和PQ能夠交于一點(diǎn)，此時(shí)0≤t≤2。

（1）應(yīng)用待定系數(shù)法求解即可。

（2）過點(diǎn)C作CD⊥x軸的于點(diǎn)D，過點(diǎn)Q作QH⊥x軸的于點(diǎn)H，由△OQH∽△OCD得比例式，從而用t表示出△OPQ的邊OP上的高，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式即可求得所求△OPQ的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式。

（3）分點(diǎn)Q在BC邊上運(yùn)動(dòng)（0≤t≤2）和點(diǎn)Q在CO邊上運(yùn)動(dòng)（2＜t≤3）兩種情況討論。

（4）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出拋物線對稱軸，求出直線OB的解析式，從而得到二者的交點(diǎn)

M（0，），進(jìn)而求出點(diǎn)P、M的直線解析式為。分分點(diǎn)Q在BC邊上運(yùn)動(dòng)（0≤t≤2）和點(diǎn)Q在CO邊上運(yùn)動(dòng)（2＜t≤3）兩種情況討論點(diǎn)Q與直線的關(guān)系，得出結(jié)論。