Question

13．如圖，在等腰直角三角形Rt△ABC和Rt△ECD中，Rt△ACB的頂點(diǎn)A在Rt△ECD的斜邊ED上，求證：AE²+AD²=2AC²．（提示：添加輔助線(xiàn)連接BD）

Answer 1

分析 連結(jié)BD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出△AEC≌△BDC，就可以得出AE=BD，∠E=∠BDC，由等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出∠ADB=90°，由勾股定理就可以得出結(jié)論．

解答 證明：連結(jié)BD，

∵△ACB與△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，
EC=DC，AC=BC，AC²+BC²=AB²，
∴2AC²=AB²．∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD．
在△AEC和△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{EC=DC}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△BDC（SAS）．
∴AE=BD，∠E=∠BDC．
∴∠BDC=45°，
∴∠BDC+∠ADC=90°，
即∠ADB=90°．
∴AD²+BD²=AB²，
∴AD²+AE²=2AC²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．