Question

19．如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別在菱形ABCD的四條邊上，BE=BF=DG=DH，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，得到四邊形EFGH，若AB=a，∠A=60°，當(dāng)四邊形
EFGH的面積取得最大時，BE的長度為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}a}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}a}{2}$
• C． $\frac{a}{2}$
• D． $\frac{a}{3}$

Answer 1

分析 利用等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角，以及平行線的性質(zhì)可以證得∠DGH+∠CGH=90°，則∠HGF=90°，根據(jù)三個角是直角的四邊形是矩形，可證得四邊形EFGH是矩形；設(shè)BE的長是x，則利用x表示出矩形EFGH的面積，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

解答 解：∵DG=DH，
∴∠DHG=∠DGH，
同理∠CGF=$\frac{180°-∠D}{2}$，
∴∠DGH+∠CGF=$\frac{360°-（∠D+∠C）}{2}$，
又∵菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠D+∠C=180°，
∴∠DGH+∠CGF=90°，
∴∠HGF=90°，
同理，∠GHE=90°，∠EFG=90°，
∴四邊形EFGH是矩形；
∵AB=a，∠A=60°，
∴菱形ABCD的面積是：$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²，
設(shè)BE=x，則AE=a-x，
則△AEH的面積是：$\frac{\sqrt{3}（{a-x）}^{2}}{4}$，
△BEF的面積是：$\frac{\sqrt{3}{x}^{2}}{4}$，
則矩形EFGH的面積y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²-$\frac{\sqrt{3}（{a-x）}^{2}}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²，
即y=-$\sqrt{3}$x²+$\sqrt{3}$ax，
則當(dāng)x=$\frac{\sqrt{3}a}{2\sqrt{3}}$=$\frac{a}{2}$時，函數(shù)有最大值．
此時BE=$\frac{a}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定以及二次函數(shù)的性質(zhì)，正確利用x表示出矩形EFGH的面積是關(guān)鍵．