如圖,已知四邊形ABCD、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、D2分別是AA1、BB1、CC1、DD1的中點(diǎn).
求證:四邊形A2B2C2D2是正方形.(初二)

證明:如圖,連接BC1和AB1分別找其中點(diǎn)F,E.連接C2F與A2E并延長相交于Q點(diǎn),
連接EB2并延長交C2Q于H點(diǎn),連接FB2并延長交A2Q于G點(diǎn),
由A2E=A1B1=B1C1=FB2,EB2=AB=BC=FC2,
∵∠GFQ+∠Q=90°和∠GEB2+∠Q=90°,
∴所以∠GEB2=∠GFQ,
∴∠B2FC2=∠A2EB2
可得△B2FC2≌△A2EB2,
所以A2B2=B2C2,
又∠HB2C2+∠HC2B2=90°和∠B2C2Q=∠EB2A2,
從而可得∠A2B2 C2=90°,
同理可得其它邊垂直且相等,
從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形.
分析:連接BC1和AB1分別找其中點(diǎn)F,E,連接C2F與A2E并延長相交于Q點(diǎn),根據(jù)三角形的中位線定理可得A2E=FB2,EB2=FC2,然后證明得到∠B2FC2=∠A2EB2,然后利用邊角邊定理證明得到△B2FC2與△A2EB2全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得A2B2=B2C2,再根據(jù)角的關(guān)系推出得到∠A2B2 C2=90°,從而得到A2B2與B2C2垂直且相等,同理可得其它邊也垂直且相等,所以四邊形A2B2C2D2是正方形.
點(diǎn)評:本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定,三角形中位線定理,全等三角形的判定與性質(zhì),綜合性較強(qiáng),作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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BDC
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BF
=
AD
,EM切⊙O于M.
(1)求證:△ADC∽△EBA;
(2)求證:AC2=
1
2
BC•CE;
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