Question

如圖，反比例函數(shù)y=（x＞0）上有兩點(diǎn)A（4，1）、B（a，b）：（0＜a＜4），過點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，
（1）求此反比例函數(shù)的解析式；
（2）在坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)D，使四邊形ABCD是菱形，求出B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如果四邊形ABCD是平行四邊形，且面積為12，求出此平行四邊形對(duì)角線可達(dá)的最大長(zhǎng)度．

Answer 1

解：（1）∵反比例函數(shù)y=（x＞0）上經(jīng)過點(diǎn)A（4，1），
∴1=，
∴k=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=（x＞0）；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC、BD互相垂直平分，
因此點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為：a=2；
由于點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，那么ab=4，即b=2；
因此B（2，2）；
由于B、D關(guān)于直線AC（即y=1）對(duì)稱，所以D（2，0）．

（3）∵四邊形ABCD是平行四邊形，且面積為12，
∴2××AC×|y_B-y_A|=12，即：4×|y_B-1|=12；
由于y_B＞0，解得y_B=4，即B（a，4）；
代入反比例函數(shù)的解析式中，可得B（1，4），AC中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），
則D（2×2-1，2×1-4）即（3，-2）；
因此對(duì)角線AC=4，BD==2；
因此平行四邊形的對(duì)角線可達(dá)的最大長(zhǎng)度為2．

分析：（1）已知反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可確定該反比例函數(shù)的解析式．
（2）若四邊形ABCD是菱形（AC為對(duì)角線），根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分的特性，可確定點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，再由反比例函數(shù)的解析式可確定點(diǎn)B的坐標(biāo)；由于B、D關(guān)于直線AC對(duì)稱，即可確定點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）平行四邊形的一條對(duì)角線將該平行四邊形分成面積相等的兩個(gè)三角形，可以AC為底、B與A的縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值為高，可表示出其中一個(gè)三角形的面積，進(jìn)而可表示出該平行四邊形的面積，由四邊形的面積為12，可確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后分別求出AC、BD的長(zhǎng)，即可得到平行四邊形的對(duì)角線的最大長(zhǎng)度．
點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)有：反比例函數(shù)解析式的確定、菱形的性質(zhì)和判定、平行四邊形的性質(zhì)以及面積的求法等知識(shí)，熟練掌握各種特殊四邊形的性質(zhì)，是準(zhǔn)確解題的關(guān)鍵．