Question

19．（1）如圖1中，△ABC為正三角形，點E為AB邊上任一點，以CE為邊作正△DEC，連結AD．求$\frac{BE}{AD}$的值．
（2）如圖2中，△ABC為等腰直角三角形，∠A=90°，點E為腰AB上任意一點，以CE為斜邊作等腰直角△CDE，連結AD．求$\frac{BE}{AD}$的值；
（3）如圖3中，△ABC為任意等腰三角形，點E為腰AB上任意一點，以CE為底邊作等腰△DEC，使△DEC∽△ABC，并且BC=$\sqrt{n}$AC．連結AD，直接寫出$\frac{BE}{AD}$的值．

Answer 1

分析 （1）由三角形ABC與三角形CDE都為正三角形，得到AB=AC，CE=CD，以及內(nèi)角為60°，利用等式的性質(zhì)得到∠ECB=∠DCA，利用SAS得到三角形ECB與三角形DCA全等，利用全等三角形對應邊相等得到BE=AD，即可求出所求之比；
（2）由三角形CDE與三角形ABC都為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到CE=$\sqrt{2}$CD，BC=$\sqrt{2}$AC，以及銳角為45°，利用等式的性質(zhì)得到∠ECB=∠DCA，利用兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似得到三角形ECB與三角形DCA相似，利用相似三角形對應邊成比例即可求出所求之比；
（3）仿照前兩問，以此類推得到一般性規(guī)律，求出所求之比即可．

解答 解：（1）∵△ABC和△CDE都是正三角形，
∴∠B=∠ACB=∠DCE=60°，AB=AC，CE=DC，
∵∠ECB=∠ACB-∠ACE=60°-∠ACE，
∠DCA=∠DCE-∠ACE=60°-∠ACE，
∴∠ECB=∠DCA，
在△ECB和△DCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CA}\\{∠ECB=∠DCA}\\{EC=DC}\end{array}\right.$，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴BE=AD，
則$\frac{BE}{AD}$=1；
（2 ）∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE中，
∴∠B=∠ACB=∠DCE=45°，CE=$\sqrt{2}$DC，BC=$\sqrt{2}$AC，
∴$\frac{CE}{DC}$=$\frac{BC}{AC}$=$\sqrt{2}$，
∵∠ECB=∠ACB-∠ACE=45°-∠ACE，
∠ACD=∠DCE-∠ACE=45°-∠ACE，
∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB∽△DCA，
∴$\frac{BE}{AD}$=$\frac{BC}{AC}$=$\sqrt{2}$；
（3）依此類推，當BC=$\sqrt{n}$AC時，$\frac{BE}{AD}$=$\sqrt{n}$，理由為：
∵等腰△ABC和等腰△CDE中，
∴∠B=∠ACB=∠DCE，CE=$\sqrt{n}$DC，BC=$\sqrt{n}$AC，
∴$\frac{CE}{DC}$=$\frac{BC}{AC}$=$\sqrt{n}$，
∵∠ECB=∠ACB-∠ACE，∠ACD=∠DCE-∠ACE，
∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB∽△DCA，
∴$\frac{BE}{AD}$=$\frac{BC}{AC}$=$\sqrt{n}$．

點評 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．