Question

如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），B點(diǎn)在x軸上且在點(diǎn)A的右側(cè)，AB＝OA，過(guò)點(diǎn)A和B作x軸的垂線(xiàn)分別交二次函數(shù)y＝x²的圖象于點(diǎn)C和D，直線(xiàn)OC交BD于M，直線(xiàn)CD交y軸于點(diǎn)H。記C、D的橫坐標(biāo)分別為x_C，x_D，點(diǎn)H的縱坐標(biāo)y_H。

（1）證明：①S_△CMD∶S梯形_ABMC＝2∶3

②x_C·x_D＝－y_H

（2）若將上述A點(diǎn)坐標(biāo)（1，0）改為A點(diǎn)坐標(biāo)（t，0），t＞0，其他條件不變，結(jié)論S_△CMD：S_梯形ABMC＝2∶3是否仍成立？請(qǐng)說(shuō)明理由。

（3）若A的坐標(biāo)（t，0）（t＞0），又將條件y＝x²改為y＝ax²（a＞0），其他條件不變，那么X_C、X_D和y_H又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出關(guān)系式，并證明。

Answer 1

解：（1）由已知可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4），且直線(xiàn)OC的函數(shù)解析式為y＝x。

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，2），易得S_△CMD＝1，S_梯形ABMC＝ ………………（1.5＇）

∴S_△CMD∶S_梯形ABMC＝2∶3，即結(jié)論①成立。

設(shè)直線(xiàn)CD的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，則

                  即

∴直線(xiàn)CD的解析式為y＝3x－2。

由上述可得點(diǎn)H的坐標(biāo)為（0，－2），即y_H＝－2 ………………………（2.5＇）

∴x_C·x_D＝－y_H.     即結(jié)論②成立    ………………………………………………（3＇）

（2）結(jié)論S_△CMD：S_梯形ABMC＝2:3仍成立. ……………………………………………（4＇）

理由如下：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（t，0），（t＞0）.

則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2t，0）

從而點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，t²），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2t，4t²）.

設(shè)直線(xiàn)OC的解析式為y＝kx，則t²＝kt       得k＝t

∴直線(xiàn)OC的解析式為y＝tx  ……………………………………（5＇）

又設(shè)M的坐標(biāo)為（2t，y）

∵點(diǎn)M在直線(xiàn)OC上

∴當(dāng)x＝2t時(shí)，y＝2t²

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2t，2t²）   ……………………………………（6＇）

∴S_△CMD：S_梯形ABMC＝·2t²·t∶（t²＋2t²）·t

                                      ＝t³∶（t³）

＝  …………………………………………（7＇）

（3）x_C，x_D和y_H有關(guān)數(shù)量關(guān)系x_C·x_D＝－y_H. …………………………………（8＇）

由題意，當(dāng)二次函數(shù)的解析式為y＝ax²（a＞0），且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（t，0）時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，at²），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2t，4at²）   …………………………（9＇）

設(shè)直線(xiàn)CD的解析式為y＝kx＋b

則                得

∴CD的解析式為y＝3atx－2at² ………………………………………………（11＇）

則H的坐標(biāo)為（0，－2at²）即y_H＝－2at²       …………………………………（11.5＇）

∵x_C·x_D＝t·2t＝2t²  ………………………………………… …………………（12＇）

∴x_C·x_D＝－y_H.