Question

如圖，一次函數(shù)y=x-

1

2

與x軸交點(diǎn)A恰好是二次函數(shù)與x的其中一個(gè)交點(diǎn)，已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=1，并與y軸的交點(diǎn)為（0，1）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)該二次函數(shù)與一次函數(shù)的另一個(gè)交點(diǎn)為C點(diǎn)，連接BC，求三角形ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）先求得A的坐標(biāo)為（

1

2

，0），設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+1，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=1，且過(guò)A（

1

2

，0），列出方程組解得a、b的值即可；
（2）先求當(dāng)y=0時(shí)，

4

3

x2-

8

3

x+1=0解得x1=

1

2

，x2=

3

2

，求得B（

3

2

，0），由

y=x- 1 2 y= 4 3 x2- 8 5 +1

解得

x1= 1 2 y1=0

，

x2= 9 4 y2= 7 4

，故C（

9

4

，

7

4

），即可求得三角形ABC的面積．

解答：解：（1）由已知可得y=x-

1

2

與x軸交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

1

2

，0）
∵二次函數(shù)過(guò)（0，1）
∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+1
∵二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=1，且過(guò)A（

1

2

，0）
故

- b 2a =1 ( 1 2 )2a+ 1 2 b+1=0

解得

a= 4 3 b=- 8 3

∴二次函數(shù)的解析式為：y=

4

3

x2-

8

3

x+1；
（2）由（1）知函數(shù)y=

4

3

x2-

8

3

+1過(guò)A（

1

2

，0），
當(dāng)y=0時(shí)，

4

3

x2-

8

3

x+1=0解得x1=

1

2

，x2=

3

2

，
故B（

3

2

，0）
由

y=x- 1 2 y= 4 3 x2- 8 5 +1

解得

x1= 1 2 y1=0

，

x2= 9 4 y2= 7 4

故C（

9

4

，

7

4

）
∴S△ABC=

1

2

(

3

2

-

1

2

)•

7

4

=

7

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)．