Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，AB=10，CD=4，連接并延長BD到E，使DE=BD，作
EF⊥AB，交BA的延長線于點F．
（1）求tan∠ABD的值；（2）求AF的長．

Answer 1

解：（1）作DM⊥AB于點M，CN⊥AB于點N．（如圖）
∵AB∥DC，DM⊥AB，CN⊥AB，
∴∠DMN=∠CNM=∠MDC=90°，
∴四邊形MNCD是矩形，
∵CD=4，
∴MN=CD=4，
∵在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，
∴∠DAB=∠CBA，DM=CN，
∴△ADM≌△BCN，
又∵AB=10，
∴AM=BN=（AB-MN）=×（10-4）=3，
∴MB=BN+MN=7．
∵在Rt△AMD中，∠AMD=90°，AD=5，AM=3，
∴DM==4，
∴tan∠ABD==．

（2）∵EF⊥AB，
∴∠F=90°，
∵∠DMN=90°，
∴∠F=∠DMN，
∴DM∥EF，
∴△BDM∽△BEF，
∵DE=BD，
∴==，
∴BF=2BM=14．
∴AF=BF-AB=14-10=4．
分析：（1）作DM⊥AB于點M，CN⊥AB于點N，由AB∥DC，DM⊥AB，CN⊥AB判斷出四邊形MNCD是矩形，進而可得出MN的長，由全等三角形的判定定理可得出△ADM≌△BCN，在Rt△AMD中由勾股定理可得出DM的長，進而可求出tan∠ABD的值；
（2）由EF⊥AB，DM∥EF可求出△BDM∽△BEF，由相似三角形的性質(zhì)可得出BF的長，由AF=BF-AB即可求出答案．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、梯形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵．