Question

如圖，直線y=x+b（b≠0）交坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在直線上，D的橫縱坐標(biāo)之積為2，過(guò)D作兩坐標(biāo)軸的垂線DC、DE，連接OD．
（1）求證：AD平分∠CDE；
（2）對(duì)任意的實(shí)數(shù)b（b≠0），求證：AD•BD為定值；
（3）是否存在直線AB，使得四邊形OBCD為平行四邊形？若存在，求出直線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題,等腰直角三角形,平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）由于DE⊥y軸，DC⊥x軸，不難得出∠EDC=90°，因此要證AD平分∠CDE，需證得∠ADC或∠ADE為45°，根據(jù)直線AB的解析式可得出A（-b，0），B（0，b），因此OA=OB，即三角形OAB是等腰直角三角形，即可證得∠ADC=∠ABO=45°，由此可得證；
（2）在（1）中已經(jīng)證得三角形ADC是等腰三角形，同理可得出三角形BDE也是等腰三角形，因此AD=

2

CD，BD=

2

DE，那么AD•BD=2CD•DE，而CD和DE的長(zhǎng)，正好是反比例函數(shù)圖象上D點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，由此可得出AD•BD是個(gè)定值；
（3）如果四邊形OBCD是平行四邊形，需要滿足的條件是OB=CD，OA=AC，可根據(jù)這個(gè)條件設(shè)B、D的坐標(biāo)，然后將D點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式中，即可求出D點(diǎn)坐標(biāo)，也就得出了B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式．

解答：解：（1）證明：由y=x+b得A（-b，0），B（0，b）．
∴∠DAC=∠OAB=45°
又∵DC⊥x軸，DE⊥y軸
∴∠ACD=∠CDE=90°
∴∠ADC=45°
即AD平分∠CDE．

（2）證明：∵∠ACD=90°，∠ADC=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
同理可得，△BDE是等腰直角三角形，
∴AD=

2

CD，BD=

2

DE．
∴AD•BD=2CD•DE=2×2=4為定值．

（3）解：存在直線AB，使得OBCD為平行四邊形．
若OBCD為平行四邊形，則AO=AC，OB=CD．
由（1）知AO=BO，AC=CD，
設(shè)OB=a（a＞0），
∴B（0，-a），D（2a，a），
∵D的橫縱坐標(biāo)之積為2，
∴點(diǎn)D在雙曲線y=

2

x

上，
∴2a•a=2，
∴a₁=-1（舍去），a₂=1，
∴B（0，-1）．
又∵B在y=x+b上，
∴b=-1．
即存在直線：y=x-1，使得四邊形OBCD為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)滿足兩個(gè)函數(shù)的解析式；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)與判定．