Question

13．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，DE⊥AC，垂足為E，且DF=EF，求證：AF⊥BE．

Answer 1

分析 延長DA至H，使DA=AH，連接HE，證得△ADB∽△AED∽△DEC，進一步證得△BDE∽△HAE，利用兩角互余的性質和等量代換求得結論即可．

解答 證明：如圖，

延長DA至H，使DA=AH，連接HE，
∵DF=FE，DA=AH，
∴AF∥HE．
∵AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AC，
∴∠ABD=∠DCE，∠BAD=∠DAE，∠ADB=∠AED=∠DEC=90°，
∴△ADB∽△AED∽△DEC，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{DE}{AE}$，
∴∠BDE=∠HAE，
∴△BDE∽△HAE，
∴∠BED=∠HEA，
又∵∠AEB+∠BED=90°，
∴∠AEB+∠HEB=90°，
∴HE⊥BE，
∴AF⊥BE．

點評 此題考查相似三角形相似的判定與性質，等腰三角形的性質，平行線分線段成比例，正確作出輔助線，證得三角形相似是解決問題的關鍵．