Question

如圖，AB，AC是內接于⊙O的兩條弦，M、N分別為，的中點，MN分別交AB，AC于E，F．判斷三角形AEF的形狀并給予證明．

Answer 1

解：△AEF是等腰三角形．
證明：連接OM，ON，分別交AB與AC于點P，Q，
∵M、N分別為，的中點，
∴OM⊥AB，ON⊥BC，
∴∠MPE=∠NQF=90°，
∴∠PEM=90°-∠M，∠QFN=90°-∠N，
∵OM=ON，
∴∠M=∠N，
∴∠PEM=∠QFN，
∵∠AEF=∠PEM，∠AFE=∠NFQ，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
即△AEF是等腰三角形．
分析：首先連接OM，ON，分別交AB與AC于點P，Q，由M、N分別為，的中點，根據垂徑定理的即可求得OM⊥AB，ON⊥BC，由等腰三角形的性質，可得∠M=∠N，繼而可證得∠AEF=∠AFE，則可證得△AEF是等腰三角形．
點評：此題考查了垂徑定理以及等腰三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．