Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m）且m＜6，△ABC的面積為S，試問：
（1）寫出S與m的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍（寫出必要的過程）；
（2）當(dāng)△ABC的周長最小時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）過A作AE⊥x軸，垂足為E，交BC于點(diǎn)D，如圖所示，設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，將B與C坐標(biāo)代入表示出直線BC解析式，根據(jù)A與D橫坐標(biāo)相同，將x=1代入直線BC解析式求出D縱坐標(biāo)，即為DE的長，由AE-DE求出AD的長，三角形ABC面積=三角形ACD面積+三角形ABD面積，表示出S與m關(guān)系式即可；
（2）做出A關(guān)于y軸對稱點(diǎn)為A′，連接A′B，交y軸于點(diǎn)C，設(shè)直線A′B解析式為y=ax+b，將A′與B坐標(biāo)代入求出a與b的值，確定出解析式，即可確定出此時(shí)C的坐標(biāo)．

解答：解：（1）過A作AE⊥x軸，垂足為E，交BC于點(diǎn)D，如圖所示，

設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，
將C（0，m），B（3，0）代入得：

b=m 3k+b=0

，
解得：

k=- 1 3 m b=m

，
∴直線BC解析式為y=-

1

3

mx+m，
∵A（1，4），
∴D橫坐標(biāo)為1，
將x=1代入直線BC解析式得：y=

2

3

m，即DE=

2

3

m，
∴AD=AE-DE=4-

2

3

m，
則S=S_△ACD+S_△ABD=

1

2

×1×（4-

2

3

m）+

1

2

×（3-1）×（4-

2

3

m）=6-m（m＜6）；
（2）如圖所示，做出A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′，連接A′B，與y軸交于點(diǎn)C，此時(shí)△ABC周長最小，

∵A（1，4），
∴A′（-1，4），
設(shè)直線A′B解析式為y=ax+b，
將A′（-1，4），B（3，0）代入得

-a+b=4 3a+b=0

，
解得：a=-1，b=3，
∴直線A′B解析式為y=-x+3，
令x=0，得到y(tǒng)=3，
則此時(shí)C坐標(biāo)為（0，3）．

點(diǎn)評：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，對稱的性質(zhì)，以及三角形面積求法，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．