Question

1．寫出圖中3個三角形的面積S₁、S₂、S₃之間的關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

分析 設(shè)三個半圓的直徑分別為：d₁、d₂、d₃，半圓的面積=$\frac{1}{2}$π×（$\frac{直徑}{2}$）²，將d₁、d₂、d₃代入分別求出S₁、S₂、S₃，由勾股定理可得：d₁²+d₂²=d₃²，觀察三者的關(guān)系即可，進而利用正方形以及等邊三角形的性質(zhì)分別求出各部分面積得出答案．

解答 解：如圖①：設(shè)三個半圓的直徑分別為：d₁、d₂、d₃，
S₁=${\;}^{\frac{1}{2}}$×π×（$\frac{jrxcqiv_{1}}{2}$）²=$\frac{xtu3nfq_{1}^{2}}{8}$π，
S₂=$\frac{1}{2}$×π×（$\frac{fbkw4g7_{2}}{2}$）²=$\frac{kzpuadz_{2}^{2}}{8}$π，
S₃=$\frac{1}{2}$×π×（$\frac{h79djfx_{3}}{2}$）²=$\frac{xn4uwsp_{3}^{2}}{8}$π．
由勾股定理可得：
d₁²=d₂²+d₃²，
∴S₃+S₂=$\frac{π}{8}$（d₃²+d₂²）=$\frac{7wjz2jq_{1}^{2}}{8}$π=S₁，
所以，S₁、S₂、S₃的關(guān)系是：S₃+S₂=S₁．
如圖②：設(shè)AC=b，BC=a，AB=c，
則S₂=a²，S₃=b²，S₁=c²，
又∵a²+b²=c²，
∴S₁、S₂、S₃的關(guān)系是：S₃+S₂=S₁．

如圖③：設(shè)AC=b，BC=a，AB=c，
則S₂=$\frac{1}{2}$×a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，S₃=$\frac{1}{2}$×b×$\frac{\sqrt{3}}{2}$b=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²，
S₁=$\frac{1}{2}$×c×$\frac{\sqrt{3}}{2}$c=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²，
又∵a²+b²=c²，
∴S₁、S₂、S₃的關(guān)系是：S₃+S₂=S₁．

點評 本題主要考查了運用勾股定理結(jié)合圖形求面積之間的關(guān)系，關(guān)鍵在于根據(jù)題意找出直角三角形，運用勾股定理求出三個半圓的直徑之間的關(guān)系．