Question

（2012•陜西）如果一條拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱(chēng)為這條拋物線(xiàn)的“拋物線(xiàn)三角形”．
（1）“拋物線(xiàn)三角形”一定是

等腰

三角形；
（2）若拋物線(xiàn)y=-x²+bx（b＞0）的“拋物線(xiàn)三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（3）如圖，△OAB是拋物線(xiàn)y=-x²+b′x（b′＞0）的“拋物線(xiàn)三角形”，是否存在以原點(diǎn)O為對(duì)稱(chēng)中心的矩形ABCD？若存在，求出過(guò)O、C、D三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的表達(dá)式；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)必在拋物線(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)上，因此這個(gè)“拋物線(xiàn)三角形”一定是等腰三角形．
（2）觀(guān)察拋物線(xiàn)的解析式，它的開(kāi)口向下且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，由于b＞0，那么其頂點(diǎn)在第一象限，而這個(gè)“拋物線(xiàn)三角形”是等腰直角三角形，必須滿(mǎn)足頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫、縱坐標(biāo)相等，以此作為等量關(guān)系來(lái)列方程解出b的值．
（3）由于矩形的對(duì)角線(xiàn)相等且互相平分，所以若存在以原點(diǎn)O為對(duì)稱(chēng)中心的矩形ABCD，那么必須滿(mǎn)足OA=OB，結(jié)合（1）的結(jié)論，這個(gè)“拋物線(xiàn)三角形”必須是等邊三角形，首先用b′表示出AE、OE的長(zhǎng)，通過(guò)△OAB這個(gè)等邊三角形來(lái)列等量關(guān)系求出b′的值，進(jìn)而確定A、B的坐標(biāo)，即可確定C、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)即可求出過(guò)O、C、D的拋物線(xiàn)的解析式．

解答：解：（1）如圖；
根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)A必在O、B的垂直平分線(xiàn)上，所以O(shè)A=AB，即：“拋物線(xiàn)三角形”必為等腰三角形．
故填：等腰．

（2）當(dāng)拋物線(xiàn)y=-x²+bx（b＞0）的“拋物線(xiàn)三角形”是等腰直角三角形，
該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)（

b

2

，

b2

4

），滿(mǎn)足

b

2

=

b2

4

（b＞0）．
則b=2．

（3）存在．
如圖，作△OCD與△OAB關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱(chēng)，則四邊形ABCD為平行四邊形．
當(dāng)OA=OB時(shí)，平行四邊形ABCD是矩形，
又∵AO=AB，
∴△OAB為等邊三角形．
∴∠AOB=60°，
作AE⊥OB，垂足為E，
∴AE=OEtan∠AOB=

3

OE．
∴

b′2

4

=

3

•

b′

2

（b＞0）．
∴b′=2

3

．
∴A（

3

，3），B（2

3

，0）．
∴C（-

3

，-3），D（-2

3

，0）．
設(shè)過(guò)點(diǎn)O、C、D的拋物線(xiàn)為y=mx²+nx，則

12m-2 3 n=0 3m- 3 n=-3

，
解得

m=1 n=2 3

．
故所求拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=x²+2

3

x．

點(diǎn)評(píng)：這道二次函數(shù)綜合題融入了新定義的形式，涉及到：二次函數(shù)的性質(zhì)及解析式的確定、等腰三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，難度不大，重在考查基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況．