Question

1．已知P為等腰△ABC內(nèi)一點，AB=BC，∠BPC=108°，D為AC的中點，BD與PC交于點E，如果點P為△ABE的內(nèi)心，則∠PAC=48°．

Answer 1

分析 先畫圖，由對頂角和題意可得∠PEA=∠PEB=∠CED=∠AED=60°，即可求∠PCA，∠PBE，∠ABD，∠BAD，∠PAE的值，由∠PAC=∠PAE+∠CAE即可得解．

解答 解：如圖所示：
由題意可得：∠PEA=∠PEB=∠CED=∠AED，
而∠PEA+∠PEB+AED=180°，
所以∠PEA=∠PEB=∠CED=∠AED=60°，
所以可得∠PCA=30°，
又∠BPC=108°，所以∠PBE=12°，從而∠ABD=24°，
所以∠BAD=90°-24°=66°，
所以∠PAE=$\frac{1}{2}$（∠BAD-∠CAE）=$\frac{1}{2}$（66°-30°）=18°，
所以∠PAC=∠PAE+∠CAE=18°+30°=48°．
故答案為：48°．

點評 本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)心，三角形內(nèi)角和等知識的應(yīng)用，考查了分析問題解決問題的能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．