Question

如圖，△ABC中，AD平分∠BAC交△ABC的外接圓⊙O于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作EF∥BC交AC、AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若AH=8，DH=2，求CH的長(zhǎng)；
（3）若∠CAB=60°，在（2）的條件下，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OH，證OH⊥EF即可．
（2）可通過(guò)相似三角形來(lái)求CH的長(zhǎng)，證△CDH∽△ACH，于是便可得出關(guān)于CH，AH，DH的比例關(guān)系，即可求出HC的長(zhǎng)．
（3）連接OC，OB，由已知可得到△COH是等邊三角形，（2）已經(jīng)求出了CH的長(zhǎng)，也就有了半徑的長(zhǎng)，然后根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式即可得出弧的長(zhǎng)．
解答：（1）證明：連接OH，
∵AD平分∠EAF，
∴∠EAH=∠FAH．
∴．
又∵OH是⊙O的半徑，
∴OH⊥BC．
又∵EF∥BC，
∴EF⊥OH．
∴EF是⊙O的切線．

（2）解：∵∠HCB=∠HAB，
∵∠HAB=∠HAC．
∴∠HCB=∠HAC．
又∵∠CHA是公共角，
∴△CDH∽△ACH．
∴．
∴CH²=8×2．
∴CH=4．

（3）解：連接OB，OC，
∵∠EAF=60°，
∴∠COB=120°，∠COH=60°．
∵OC=OH，∠COH=60°，
∴△COH是等邊三角形．
∴OC=OH=CH=4．
∴弧BHC的長(zhǎng)=120°×π×4÷180°=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理得出相應(yīng)的角相等或角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．