Question

（2012•房山區(qū)二模）探究問題：
已知AD、BE分別為△ABC 的邊BC、AC上的中線，且AD、BE交于點(diǎn)O．
（1）△ABC為等邊三角形，如圖1，則AO：OD=

2：1

；
（2）當(dāng)小明做完（1）問后繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)，若△ABC為一般三角形（如圖2），（1）中的結(jié)論仍成立，請你給予證明．
（3）運(yùn)用上述探究的結(jié)果，解決下列問題：
如圖3，在△ABC中，點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，AD平分∠BAC，AD⊥BE于點(diǎn)F，若AD=BE=4．求：△ABC的周長．

Answer 1

分析：（1）連接DE，由三角形中位線性質(zhì)，即可得DE∥AB，DE=

1

2

AB，則可證得△ODE∽△OAB，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得AO：OD的值；
（2）同（1），連接DE，由三角形中位線性質(zhì)，即可得DE∥AB，DE=

1

2

AB，則可證得△ODE∽△OAB，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得AO：OD的值；
（3）過點(diǎn)C作CG∥BE，交AB延長線于點(diǎn)G，并延長AD交CG于點(diǎn)H，易證得△ABE與△ACG是等腰三角形，利用（2）的結(jié)論與勾股定理，即可求得AB、BC、AC的長．

解答：（1）解：連接DE，
∵AD、BE分別為△ABC的邊BC、AC上的中線，
∴DE∥AB，DE=

1

2

AB，
∴△ODE∽△OAB，
∴AO：OD=AB：DE=2：1．
故答案為：2：1；

（2）證明：連接DE，
∵D、E為AC、BC中點(diǎn)，
∴DE∥AB，DE=

1

2

AB，
∴△DOE∽△AOB，
∴AO：OD=AB：DE=2：1．

（3）解：過點(diǎn)C作CG∥BE，交AB延長線于點(diǎn)G，并延長AD交CG于點(diǎn)H．
∵E是邊AC的中點(diǎn)，
∴B是邊AG的中點(diǎn)，
∴BE是△ACG中位線，
∵AD平分∠BAC，AD⊥BE于點(diǎn)F，
∴∠BAF=∠EAF，∠AFB=∠AFE=90°，
在△ABF和△AEF中，
∵

∠BAF=∠EAF ∠AFB=∠AFE AF=AF

，
∴△ABF≌△AEF（AAS），
∴AB=AE，
∵BE∥CG，
∴AB：AG=AE：AC，
∴AG=AC，
∵AF⊥BE，
∴AH⊥CG，
∴H為CG中點(diǎn)，
由上述結(jié)果可知：AD：DH=2：1，CD：DB=2：1，
∴DH=

1

2

AD=

1

2

×4=2，
∴AH=AD+DH=6，
∵CG=2BE=8，
∴CH=GH=4，
∵BE為中位線，
∴AF=FH=

1

2

AH=3，
∴DF=AD-AF=4-3=1，
在Rt△DHC中，CD=

CH2+DH2

=

42+22

=2

5

，
∴BD=

1

2

CD=

5

，
∴BC=BD+CD=3

5

，
在Rt△AHC中，AC=

AH2+CH2

=

62+42

=2

13

，
∴AB=

1

2

AG=

1

2

AC=

13

，
∴△ABC周長為：AB+BC+AC=

13

+3

5

+2

13

=3

13

+3

5

．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．