Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=

1

3

CD，E是AB上一點(diǎn)，AE=2BE，M是腰BC的中點(diǎn)，連接EM并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接DB交EF于點(diǎn)N．
求證：BN：ND=1：10．

Answer 1

分析：由平行線的性質(zhì)知，∠F=∠BEM，由M是腰BC的中點(diǎn)知BM=CM，故可由AAS證得△FCM≌△EBM，得出BE=FC，進(jìn)而得到BE與FD的關(guān)系，由BE∥FD，可得△BNE∽△DNF，則BN：ND=BE：FD，代入BE，F(xiàn)D的值即可得BN：ND的值．

解答：證明：設(shè)EB=a，則AE=2a，AB=3a，CD=9a．（1分）
∵AB∥CD，
∴∠F=∠BEM，
∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，
∴BM=CM，又∠FMC=∠EMB，
在△FCM和△EBM中
∵

∠BEM=∠F ∠EMB=∠CMF BM=CM

，
∴△FCM≌△EBM（AAS），（4分）
∴BE=FC=a，
∴FD=FC+CD=10a．（5分）
∵BE∥FD，
∴△BNE∽△DNF，（6分）
∴

BN

ND

=

BE

FD

=

a

10a

=

1

10

．（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題利用了平行線的性質(zhì)，全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)求解．對(duì)于含有兩線段成比例的題，常常通過(guò)設(shè)參數(shù)來(lái)達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的．