Question

14．已知拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3，0）（1，0）．
（1）求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段AC上向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段OB上向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)即停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
①當(dāng)四邊形OMPQ是矩形，求滿足條件的t的值；
②連結(jié)QM、BC，當(dāng)△QOM與以點(diǎn)O、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，t的值為$\frac{1}{3}$或$\frac{9}{11}$或$\frac{9}{7}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于A、C兩點(diǎn)，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3，0）（1，0），可以求得拋物線的解析式；
（2）①根據(jù)四邊形OMPQ是矩形，可知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)等于點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，從而可以求得相應(yīng)的t的值；
②根據(jù)已知條件可知兩個(gè)三角形相似時(shí)，存在三種情況，然后畫出相應(yīng)的圖形，分類進(jìn)行解答解可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于A、C兩點(diǎn)，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3，0）（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+3=0}\\{a+b+3=0}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x²-2x+3；
（2）①當(dāng)四邊形OMPQ是矩形時(shí)，
∵由題意可得，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-3+3t，0），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2t），點(diǎn)P在y=-x²-2x+3上，PQ⊥x軸，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3+3t，-（-3+3t）²-2（-3+3t）+3），
∴-（-3+3t）²-2（-3+3t）+3=2t，
解得，t=0或t=$\frac{10}{9}$，
故當(dāng)四邊形OMPQ是矩形時(shí)，t的值為$\frac{10}{9}$；
②連結(jié)QM、BC，當(dāng)△QOM與以點(diǎn)O、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，存在三種情況，
第一種情況，當(dāng)∠OQM=∠OBC，∠QOM=∠BOC時(shí)，如下圖一所示，

由已知可得，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-3+3t，0），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2t），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）
則OQ=3-3t，OM=2t，OC=1，OB=3，
∵∠OQM=∠OBC，∠QOM=∠BOC，
∴△QOM∽△BOC，
∴$\frac{OQ}{OB}=\frac{OM}{OC}$，
即$\frac{3-3t}{3}=\frac{2t}{1}$，
解得，t=$\frac{1}{3}$；
第二種情況，當(dāng)∠OQM=∠OCB，∠QOM=∠COB，如下圖二所示，

由已知可得，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-3+3t，0），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2t），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）
則OQ=3-3t，OM=2t，OC=1，OB=3，
∵∠OQM=∠OCB，∠QOM=∠COB，
∴△QOM∽△BOC，
∴$\frac{OQ}{OC}=\frac{OM}{OB}$，
即$\frac{3-3t}{1}=\frac{2t}{3}$，
解得，t=$\frac{9}{11}$；
第三種情況，當(dāng)∠OQM=∠OCB，∠QOM=∠COB，如下圖三所示，

由已知可得，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-3+3t，0），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2t），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）
則OQ=3t-3，OM=2t，OC=1，OB=3，
∵∠OQM=∠OCB，∠QOM=∠COB，
∴△QOM∽△BOC，
∴$\frac{OQ}{OC}=\frac{OM}{OB}$，
即$\frac{3t-3}{1}=\frac{2t}{3}$，
解得，t=$\frac{9}{7}$；
故答案為：$\frac{1}{3}$或$\frac{9}{11}$或$\frac{9}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、求二次函數(shù)的解析式、矩形的性質(zhì)、三角形的相似、分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是明確題意，會(huì)求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)矩形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答相關(guān)問(wèn)題，利用三角形的相似和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答問(wèn)題．