Question

已知拋物線經過A（-2，0），B（0，2），C（

3

2

，0）三點，一動點P從原點出發(fā)以1個單位/秒的速度沿x軸正方向運動，連接BP，過點A作直線BP的垂線交y軸于點Q．設點P的運動時間為t秒．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當BQ=

1

2

AP時，求t的值；
（3）隨著點P的運動，拋物線上是否存在一點M，使△MPQ為等邊三角形？若存在，請直接寫t的值及相應點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題,一次函數的應用,全等三角形的應用,等腰三角形的性質,等邊三角形的性質

專題：壓軸題

分析：（1）已知3點求拋物線的解析式，設解析式為y=ax²+bx+c，待定系數即得a、b、c的值，即得解析式．
（2）BQ=

1

2

AP，要考慮P在OC上及P在OC的延長線上兩種情況，有此易得BQ，AP關于t的表示，代入BQ=

1

2

AP可求t值．
（3）考慮等邊三角形，我們通常只需明確一邊的情況，進而即可描述出整個三角形．考慮△MPQ，發(fā)現PQ為一有規(guī)律的線段，易得OPQ為等腰直角三角形，但僅因此無法確定PQ運動至何種情形時△MPQ為等邊三角形．若退一步考慮等腰，發(fā)現，MO應為PQ的垂直平分線，即使△MPQ為等邊三角形的M點必屬于PQ的垂直平分線與拋物線的交點，但要明確這些交點僅僅滿足△MPQ為等腰三角形，不一定為等邊三角形．確定是否為等邊，我們可以直接由等邊性質列出關于t的方程，考慮t的存在性．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線經過A（-2，0），B（0，2），C（

3

2

，0）三點，
∴

4a-2b+c=0 9 4 a+ 3 2 b+c=0 c=2

，
解得

a=- 2 3 b=- 1 3 c=2

，
∴y=-

2

3

x²-

1

3

x+2．

（2）∵AQ⊥PB，BO⊥AP，
∴∠AOQ=∠BOP=90°，∠PAQ=∠PBO，
∵AO=BO=2，
∴△AOQ≌△BOP，
∴OQ=OP=t．
①如圖1，當t≤2時，點Q在點B下方，此時BQ=2-t，AP=2+t．

∵BQ=

1

2

AP，
∴2-t=

1

2

（2+t），
∴t=

2

3

．
②如圖2，當t＞2時，點Q在點B上方，此時BQ=t-2，AP=2+t．

∵BQ=

1

2

AP，
∴t-2=

1

2

（2+t），
∴t=6．
綜上所述，t=

2

3

或6時，BQ=

1

2

AP．

（3）當t=

3

-1時，拋物線上存在點M（1，1）；當t=3+3

3

時，拋物線上存在點M（-3，-3）．
分析如下：
∵AQ⊥BP，
∴∠QAO+∠BPO=90°，
∵∠QAO+∠AQO=90°，
∴∠AQO=∠BPO．
在△AOQ和△BOP中，

∠AQO=∠BPO ∠AOQ=∠BOP=90° AO=BO

，
∴△AOQ≌△BOP，
∴OP=OQ，
∴△OPQ為等腰直角三角形，
∵△MPQ為等邊三角形，則M點必在PQ的垂直平分線上，
∵直線y=x垂直平分PQ，
∴M在y=x上，設M（x，y），
∴

y=x y=- 2 3 x2- 1 3 x+2

，
解得

x=1 y=1

 或

x=-3 y=-3

，
∴M點可能為（1，1）或（-3，-3）．
①如圖3，當M的坐標為（1，1）時，作MD⊥x軸于D，

則有PD=|1-t|，MP²=1+|1-t|²=t²-2t+2，PQ²=2t²，
∵△MPQ為等邊三角形，
∴MP=PQ，
∴t²+2t-2=0，
∴t=-1+

3

，t=-1-

3

（負值舍去）．
②如圖4，當M的坐標為（-3，-3）時，作ME⊥x軸于E，

則有PE=3+t，ME=3，
∴MP²=3²+（3+t）²=t²+6t+18，PQ²=2t²，
∵△MPQ為等邊三角形，
∴MP=PQ，
∴t²-6t-18=0，
∴t=3+3

3

，t=3-3

3

（負值舍去）．
綜上所述，當t=-1+

3

時，拋物線上存在點M（1，1），或當t=3+3

3

時，拋物線上存在點M（-3，-3），使得△MPQ為等邊三角形．

點評：本題是二次函數、一次函數及三角形相關知識的綜合題目，其中涉及的知識點有待定系數法求拋物線，三角形全等，等腰、等邊三角形性質及一次函數等基礎知識，在討論動點問題是一定要注意考慮全面分情形討論分析．總體來說本題難度較高，其中技巧需要好好把握．