Question

（2013•老河口市模擬）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，BC=（

2

+1）AD，以AD為邊作等邊三角形ADE，則∠BEC=

75°或165°

．

Answer 1

分析：過點A作AF∥CD交BC于F，可得四邊形AFCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得AD=FC，AF=CD，再求出BF，然后利用勾股定理逆定理判定△ABF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠ABF=45°，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出∠BAD=135°，然后分①點E在AD的上方時，根據(jù)周角等于360°求出∠BAE，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ABE，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解；②點E在AD的下方時，求出∠BAE，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ABE，然后求出∠CBE，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解．

解答：解：在等腰梯形ABCD中，AB=CD，
過點A作AF∥CD交BC于F，
∵AD∥BC，
∴四邊形AFCD是平行四邊形，
∴AD=FC，AF=CD，
∵AB=AD，BC=（

2

+1）AD，
∴BF=BC-FC=（

2

+1）AD-AD=

2

AD，
在△ABF中，AB²+AF²=AD²+AD²=2AD²=BF²，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴∠ABF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠BAD=180°-∠ABF=180°-45°=135°，
①如圖1，等邊三角形ADE的頂點E在AD的上方時，
∠BAE=360°-60°-135°=165°，
∵AB=AD=AE，
∴∠ABE=

1

2

（180°-165°）=7.5°，
∴∠CBE=∠ABF+∠ABE=45°+7.5°=52.5°，
同理可得∠BCE=52.5°，
∴∠BEC=180°-52.5°×2=75°；
②如圖2，等邊三角形ADE的頂點E在AD的下方時，
∠BAE=∠BAD-∠DAE=135°-60°=75°，
∵AB=AD=AE，
∴∠ABE=

1

2

（180°-75°）=52.5°，
∴∠CBE=∠ABE-∠ABC=52.5°-45°=7.5°，
同理可得∠BCE=7.5°，
∴∠BEC=180°-7.5°×2=165°；
綜上所述，∠BEC=75°或165°．
故答案為：75°或165°．

點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理逆定理的應(yīng)用，等邊對等角的性質(zhì)，梯形的問題關(guān)鍵在于作輔助線，本題利用勾股定理逆定理判斷出△ABF是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵，難點在于要分情況討論．