Question

【題目】已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn).

（1）在圖①中的軸上求作點(diǎn)，使得的值最小；

（2）若是以為腰的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖②，在中，，，點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）是軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，連結(jié)，把繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（即，），連結(jié)、、，試猜想的度數(shù)，并給出證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），，，；（3）45°，見解析

【解析】

（1）作出點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)B1，連接AB1交y軸于點(diǎn)P，則P點(diǎn)即為所求；

（2）分別作出以AB為腰的等腰直角三角形，運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；

（3）分點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A的右側(cè)和左側(cè)兩種情形進(jìn)行求解：①當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)右側(cè)時(shí),如圖,延長至,使,連結(jié),,，首先證明≌即可證明是等腰直角三角形，進(jìn)而證明≌可得，，從而可得結(jié)論；②當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)左側(cè)時(shí)，同理可得.

（1）如圖所示，

(2) 如圖1，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E,

∵∠ABC=90°,

∴∠ABD+∠CBE=90°，

∵∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠BAD=∠CBE，

在△BAD和△CBE中，

∴△BAD≌△CBE，

∴BE=AD，CE=BD，

∵A（-3，0），B（-2，3），

∴AD=1，BD=3，OD=2，

∴BE=1，DE=2，

∴C（1，2）

如圖2，

易證△BAD≌△ACO，

∴OC=AD=1，

∴C（0，-1）；

如圖3，

易證△BAD≌△BCF，

∴CF=AD=1，BF=ED=BD=3

∴CE=4，EO=5

∴C（-5，4）；

如圖4，

易證△BAD≌△CAE，

∴CE=AD=1，AE= BD=3

∴EO=6

∴C（-6，1）；

故點(diǎn)C的坐標(biāo)為：,,,

(3)猜想

①當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)右側(cè)時(shí),

如圖,延長至,使,連結(jié),,

在和中

∵,,

∴≌()

∴,

∵

∴

∵,

∴是等腰直角三角形

∴,,

∵

∴,

即

∴

在和中

∵,,

∴≌()

∴,

∵

∴

∵

∴

∵

∴

∵

∴是等腰直角三角形,

②當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)左側(cè)時(shí),同理可證,

綜上所述,