Question

（2012•徐匯區(qū)一模）如圖，△AOB的頂點A、B在二次函數(shù)y=-

1

3

x2+bx+

3

2

的圖象上，又點A、B分別在y軸和x軸上，tan∠ABO=1．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）過點A作AC∥BO交上述函數(shù)圖象于點C，點P在上述函數(shù)圖象上，當△POC與△ABO相似時，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)函數(shù)解析式求出A的坐標，然后得到AO的長度，接著利用三角函數(shù)的定義求出BO的長度，也就得到B的坐標，最后代入解析式即可求出函數(shù)的解析式；
（2））首先由AC∥BO交上述函數(shù)圖象于點C可以求出C的坐標，接著得到AC、AO、OC的長度，由此也可以求出b的值，根據(jù)拋物線的對稱性可以求出拋物線與x軸的另一交點為D的坐標，從而得到CD的長度，接著利用勾股定理的逆定理證明∠OCD=90°，易得Rt△OCA∽Rt△ABO，Rt△ODC∽Rt△ABO，求出P的坐標．

解答：解：（1）∵點A在二次函數(shù)y=-

1

3

x2+bx+

3

2

的圖象上，A(0，

3

2

)…（1分）
在Rt△AOB中，∠AOB=90°
∵tan∠ABO=

AO

BO

=1，
∵BO=AO=

3

2

，
∴B(-

3

2

，0)…（1分）
∵點B在二次函數(shù)y=-

1

3

x2+bx+

3

2

的圖象上
∴-

1

3

×(-

3

2

)2-

3

2

b+

3

2

=0
∴b=

1

2

…（1分）
∴y=-

1

3

x2+

1

2

x+

3

2

…（1分）

（2）∵AC∥BO交上述函數(shù)圖象于點C，
∴設C(x，

3

2

)…（1分）
∴-

1

3

x2+

1

2

x+

3

2

=

3

2

，
解得x1=0，x2=

3

2

，
∵C(

3

2

，

3

2

)…（1分）
∴AC=AO=

3

2

，
根據(jù)勾股定理得：OC=

3

2

2

，
設拋物線y=-

1

3

x2+

1

2

x+

3

2

與x軸的另一交點為D，
可得，D（3，0）…（1分）
∴根據(jù)兩點間的距離公式得：CD=

(3- 3 2 )2+(0- 3 2 )2

=

3

2

2

，又OD=3，OC=

3

2

2

，
∴OC²+CD²=OD²，∴∠OCD=90°…（1分）
易得，Rt△OCA∽Rt△ABO，Rt△ODC∽Rt△ABO…（2分）
此時D，P重合，A與P重合，
∴P(0，

3

2

)或P（3，0）…（2分）．

點評：此題是二次函數(shù)的綜合題，分別考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)及三角函數(shù)的定義，對于學生綜合分析問題的能力要求比較高，平時要加強訓練．