Question

20．問題背景：
如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)的方法是將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到△ADG的位置，然后再證明△AFE≌△AFG，從而得出結(jié)論：EF=BE+FD．
探索延伸：
如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．
結(jié)論應(yīng)用：
如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏東60°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏西20°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等．接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正南方向以40海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿南偏東40°的方向以50海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇與指揮中心O之間夾角∠EOF=70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．

Answer 1

分析 問題背景：延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；
探索延伸：將△ADF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ABG，使得AD與AB重合，則△ADF≌△ABG，即可證明△ABE≌△ADG，可得EF=FG，即可解題；
結(jié)論應(yīng)用：連接EF，根據(jù)（2）的結(jié)論可證．

解答 解：問題背景：EF=BE+DF，證明如下：
如圖1，延長FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，
在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=BE}\\{∠B=∠ADG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
故答案為：EF=BE+DF；

探索延伸：
證明：如圖2，將△ADF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ABG，使得AD與AB重合，
則△ADF≌△ABG，
∴∠FAG=∠BAD，AF=AG，DF=GB，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠EAF=∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠EAF=∠EAG}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△EAG≌△EAF，（SAS）
∴GE=EF，
∵GE=GB+BE=DF+BE，
∴EF=BE+FD；

結(jié)論應(yīng)用：如圖3，連接EF，
∵∠AOB=30°+90°+20°=140°，
∴∠FOE=70°=$\frac{1}{2}$∠AOB，
又∵OA=OB，∠A+∠B=60°+120°=180°，符合探索延伸中的條件，
∴結(jié)論EF=AE+FB成立．
即，EF=AE++FB=2×40+2×50=180（海里）
答：此時(shí)兩艦艇之間的距離為180海里．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△AEF≌△AGF是解題的關(guān)鍵．