Question

【題目】如圖，已知半圓O的直徑AB＝4，沿它的一條弦折疊．若折疊后的圓弧與直徑AB相切于點(diǎn)D，且AD：DB＝3：1，則折痕EF的長(zhǎng)______．

Answer 1

【答案】．

【解析】

解：如圖，過(guò)O作弦BC的垂線OP，垂足為D，分別與弧的交點(diǎn)為A、G，過(guò)切點(diǎn)F作PF⊥半徑OC交OP于P點(diǎn)，

∵OP⊥BC，∴BD=DC，即OP為BC的中垂線. ∴OP必過(guò)弧BGC所在圓的圓心

又∵OE為弧BGC所在圓的切線，PF⊥OE，∴PF必過(guò)弧BGC所在圓的圓心

∴點(diǎn)P為弧BGC所在圓的圓心

∵弧BAC沿BC折疊得到弧BGC，∴⊙P為半徑等于⊙O的半徑，即PF=PG=OE=2，并且AD=GD

∴OG=AP

而F點(diǎn)分⊙O的直徑為3：1兩部分，∴OF=1

在Rt△OPF中，設(shè)OG=x，則OP=x+2，

∴OP2=OF2+PF2，即（x+2）2=12+22，解得x=

∴AG=2-（）=

∴DG=

∴OD=OG+DG=

在Rt△OBD中，BD2=OB2+OD2，即BD2=22-（）2，

∴BD=

∴BC=2BD=

故答案為：．