Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（8，0），點(diǎn)B在第一象限，△OAB為等邊三角形，OC⊥AB，垂足為點(diǎn)C．
（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)6；
（2）作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，連DA交OB于E，求OE的長(zhǎng)；
（3）P為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，以PA為邊在PA所在直線(xiàn)的下方作等邊△PAH．當(dāng)OH最短時(shí)，求點(diǎn)H的橫坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）如圖1所示：過(guò)點(diǎn)B作BF⊥OA，垂足為F．由等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可知OF=AF=4、BC=AC，由等邊三角形的性質(zhì)可知：∠BOF=60°，由特殊銳角三角函數(shù)值可知；FB=4$\sqrt{3}$，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4$\sqrt{3}$），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，2$\sqrt{3}$）；
（2）方法1：設(shè)OB的解析式為y=kx，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：k=$\sqrt{3}$，于是得到直線(xiàn)OB的解析式為y=$\sqrt{3}x$．由關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后依據(jù)待定系數(shù)法可求得直線(xiàn)AD的解析式為y=$-\frac{\sqrt{3}}{7}x+\frac{8\sqrt{3}}{7}$．將y=$\sqrt{3}x$代入y=$-\frac{\sqrt{3}}{7}x+\frac{8\sqrt{3}}{7}$可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$）．由兩點(diǎn)間的距離公式可知：OE=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2；
方法2：連接CD，交OB于F．由關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)坐標(biāo)特點(diǎn)可知：CD∥OA，D（-6，2$\sqrt{3}$），從而得到DC=12，由題意可知△BCF為等邊三角形，從而得到CF=4，然后可求得DF=12-4=8=OA，依據(jù)AAS可證明△DEF≌△AEO（AAS），由全等三角形的性質(zhì)可知OE=EF，從而可求得OE=2；
 （3）如圖3，連接PB．依據(jù)SAS可證明△HAO≌△PAB，由全等三角形的性質(zhì)可知：OH=PB，由垂線(xiàn)段最短的性質(zhì)可知：當(dāng)BP⊥y軸時(shí)，PB有最小值為4，由PB⊥y軸可知∠AOH=∠ABP=120°，從而得到∠COH=60°，過(guò)點(diǎn)H作HC⊥x軸于C，由OH=4，∠COH=60°，可求得OC=2．

解答 解：（1）如圖1所示：過(guò)點(diǎn)B作BF⊥OA，垂足為F．

∵OB=AB，BF⊥OA，
∴OF=AF=4．
∵△OAB為等邊三角形，
∴∠BOF=60°．
∴FB=OBsin60°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4$\sqrt{3}$）．
∵AO=OB，OC⊥AB，
∴BC=AC．
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，2$\sqrt{3}$）．
故答案為：6．
（2）方法1：設(shè)OB的解析式為y=kx，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：4k=4$\sqrt{3}$，
解得：k=$\sqrt{3}$．
∴直線(xiàn)OB的解析式為y=$\sqrt{3}x$．
∵點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-6，2$\sqrt{3}$）．
設(shè)DA的解析式為y=k₁x+b．將點(diǎn)A和點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{8{k}_{1}+b=0}\\{-6{k}_{1}+b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：k₁=-$\frac{\sqrt{3}}{7}$，b=$\frac{8\sqrt{3}}{7}$．
∴直線(xiàn)DA的解析式為y=$-\frac{\sqrt{3}}{7}x+\frac{8\sqrt{3}}{7}$．
將y=$\sqrt{3}x$代入y=$-\frac{\sqrt{3}}{7}x+\frac{8\sqrt{3}}{7}$得：$\sqrt{3}x+\frac{\sqrt{3}}{7}x=\frac{8\sqrt{3}}{7}$．
解得：x=1．
∴y=$\sqrt{3}$．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$）．
由兩點(diǎn)間的距離公式可知：OE=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2．
方法2：如圖2所示：連接CD，交OB于F．

∵點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
∴CD∥OA，點(diǎn)D（-6，2$\sqrt{3}$）．
∴△BCF為等邊三角形，
∴CF=4，CD=12．
∴DF=12-4=8=OA．
在△DEF和△AEO中，
$\left\{\begin{array}{l}∠DFE=∠AOE\\∠DEF=∠AEO\\ DF=AP\end{array}\right.$
∴△DEF≌△AEO（AAS），
∴OE=EF=$\frac{1}{2}$OF，
∵BF=BC=4，
∴OF=4，
∴OE=2．
 （3）如圖3，連接PB．

∵∠HAO+∠PAO=∠BAP+∠PAO=60°，
∴∠HAO=∠PAB，
在△HAO和△PAB中，
$\left\{\begin{array}{l}AH=AP\\∠HAO=∠PAB\\ OA=BA\end{array}\right.$
∴△HAO≌△PAB（SAS），
∴OH=PB，
當(dāng)BP⊥y軸時(shí)，PB有最小值為4，此時(shí)，∠AOH=∠ABP=120°，
∴∠COH=60°
過(guò)點(diǎn)H作HC⊥x軸于C，
∵OH=4，∠COH=60°，
∴OC=2，即H點(diǎn)橫坐標(biāo)為-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、全等三角形的性質(zhì)和判定、特殊銳角三角函數(shù)、垂線(xiàn)段的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，證得當(dāng)BP⊥y軸時(shí)，OH有最小值是解題的關(guān)鍵．