Question

已知二次函數(shù)y=-

1

4

x²+

3

2

x的圖象如圖．
（1）求它的對稱軸與x軸交點D的坐標；
（2）將該拋物線沿它的對稱軸向上平移，設(shè)平移后的拋物線與x軸，y軸的交點分別為A、B、C三點，若∠ACB=90°，求此時拋物線的解析式．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：計算題

分析：（1）由二次函數(shù)解析式，利用對稱軸公式求出拋物線的對稱軸，確定出D坐標即可；
（2）設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=-

1

4

x²+

3

2

x+k，令y=0求出x的值，確定出A與B坐標，利用兩點間的距離公式表示出AB²，AC²+BC²，根據(jù)勾股定理得到AC²+BC²=AB²，列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可確定出此時拋物線的解析式．

解答：解：（1）由y=-

1

4

x²+

3

2

x得：x=-

b

2a

=3，
∴D（3，0）；
（2）如圖，設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=-

1

4

x²+

3

2

x+k，
則C（0，k），即OC=k，
令y=0，即-

1

4

x²+

3

2

x+k=0，
解得：x₁=3+

4k+9

，x₂=3-

4k+9

，
∴A（3-

4k+9

），B（3+

4k+9

，0），
∴AB²=（

4k+9

+3-3+

4k+9

）²=16k+36，
AC²+BC²=k²+（3-

4k+9

）²+k²+（3+

4k+9

）²=2k²+8k+36，
∵AC²+BC²=AB²，即2k²+8k+36=16k+36，
解得：k₁=4，k₂=0（舍去），
∴拋物線的解析式為y=-

1

4

x²+

3

2

x+4．

點評：此題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．