Question

如圖，已知在⊙O中，點(diǎn)C為弧AB的中點(diǎn)，連接AC并延長(zhǎng)至D，使CD=CA，連接DB并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接AE．若AE=13，AC=5，則AB=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,勾股定理,三角形中位線定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系

專(zhuān)題：

分析：首先證明△ABD是直角三角形，△BCD是等腰三角形，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，以及等角對(duì)等邊證明△AED是等腰三角形，設(shè)BD=x，則利用勾股定理即可列方程求得BD的長(zhǎng)，在直角△ABD中利用勾股定理求得AB的長(zhǎng)．

解答：解：∵點(diǎn)C為弧AB的中點(diǎn)，即

AC

=

BC

，
∴AC=BC，
又∵CD=CA，
∴∠ABD=90°，則∠ABE=90°，AC=CD=BC=5，AD=10．
∵圓內(nèi)接四邊形ACBE中，∠CBD=∠EAD，
又∵BC=CD，
∴∠CBD=∠D，
∴∠EAD=∠D，
∴ED=AE=13．
設(shè)BD=x，則BE=13-x，
∵在直角△ABE中，AB²=AE²-BD²=13²-（13-x）²，
在直角△ABD中，AB²=AD²-BD²，即AB²=10²-x²，
∴13²-（13-x）²=10²-x²，
解得：x=

50

13

，
則AB=

102-( 50 13 )2

=

120

13

．
故答案是：

120

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理，等腰三角形的判定定理以及勾股定理，正確證明△AED是等腰三角形是關(guān)鍵．