Question

17．已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合）．以AD為邊作等邊三角形ADE，連接CE．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)．
①求證：△ABD≌△ACE；
②直接判斷結(jié)論BC=DC+CE是否成立（不需證明）；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)寫(xiě)出BC，DC，CE之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，進(jìn)而就可以得出△ABD≌△ACE；②由△ABD≌△ACE就可以得出BC=DC+CE；
（2）由等邊三角形的性質(zhì)就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，進(jìn)而就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BC+CD=CE．

解答 解：（1）①∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠EAC}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
②∵△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
∵BC=BD+CD，
∴BC=CE+CD．

（2）BC+CD=CE．
∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠EAC}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE．
∵BD=BC+CD，
∴CE=BC+CD；

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等式的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．