Question

5．如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，CB=3，CA=4，AB=5，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到△A₁B₁C．
（1）△ABC的面積=6，AB邊上的高等于$\frac{12}{5}$；
（2）若旋轉(zhuǎn)的角度θ=90°-∠A，試說明：AB∥CB₁；
（3）如圖2，點E是AC邊的中點，點F為線段AB上的動點，在△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)過程中，點F的對應(yīng)點是F₁．當(dāng)線段EF₁的長度分別等于$\frac{2}{5}$和6時，請仿照圖2分別畫出草圖，并對點F和點F₁的位置加以說明．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形的面積公式求出△ABC的面積=$\frac{1}{2}$CB•CA=6；由直角三角形面積的計算方法求出斜邊設(shè)AB邊上的高即可；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ABC≌△A₁B₁C．得出∠B₁=∠B，由旋轉(zhuǎn)的角度θ=90°-∠A=∠BCB₁，∠B+∠A=90°，得出∠B=∠BCB₁，得出AB∥CB₁即可；       
（3）當(dāng)CF⊥AB且F₁在AC邊上時，由（1）得：CF₁=CF=$\frac{12}{5}$，求出CE=$\frac{1}{2}$AC=2，即可得出EF₁ 的長；
當(dāng)F與點A重合且F₁在AC的延長線上時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CF₁=CA=4，得出EF₁=C F₁+CE=6即可．

解答 （1）解：∵∠ACB=90°，CB=3，CA=4，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$CB•CA=$\frac{1}{2}$×3×4=6；
設(shè)AB邊上的高為h，
則△ABC的面積=$\frac{1}{2}$AB•h=6，
∴5h=12，h=$\frac{12}{5}$，
即AB邊上的高等于$\frac{12}{5}$；
故答案為：6，$\frac{12}{5}$；
（2）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ABC≌△A₁B₁C
∴∠B₁=∠B，
∵旋轉(zhuǎn)的角度θ=90°-∠A=∠BCB₁，∠B+∠A=90°，
∴∠B=∠BCB₁，
∴AB∥CB₁；
（3）解：當(dāng)CF⊥AB且F₁在AC邊上時，線段EF₁的長度等于$\frac{2}{5}$；理由如下：
如圖1所示：
由（1）得：CF₁=CF=$\frac{12}{5}$，
∵點E是AC邊的中點，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴EF₁=CF₁-CE=$\frac{12}{5}$-2=$\frac{2}{5}$；
當(dāng)F與點A重合且F₁在AC的延長線上時，線段EF₁的長度等于6；理由如下：
如圖2所示：
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CF₁=CA=4，
∴EF₁=C F₁+CE=4+2=6．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線的判定、三角形面積的計算方法等知識；本題綜合性強，有一定難度，特別是（3），根據(jù)題意畫出圖形是解決問題（3）的關(guān)鍵．