Question

如圖，現(xiàn)有兩塊全等的直角三角形紙板Ⅰ，Ⅱ，它們兩直角邊的長分別為1和2．將它們分別放置于平面直角坐標系中的，處，直角邊在軸上．一直尺從上方緊靠兩紙板放置，讓紙板Ⅰ沿直尺邊緣平行移動．當(dāng)紙板Ⅰ移動至處時，設(shè)與分別交于點，與軸分別交于點．

（1）求直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)點是線段（端點除外）上的動點時，試探究：

①點到軸的距離與線段的長是否總相等？請說明理由；

②兩塊紙板重疊部分（圖中的陰影部分）的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及取最大值時點的坐標；若不存在，請說明理由．

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）由直角三角形紙板的兩直角邊的長為1和2，

知兩點的坐標分別為．

設(shè)直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．

有解得

所以，直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．

（2）①點到軸距離與線段的長總相等．

因為點的坐標為，

所以，直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．

又因為點在直線上，

所以可設(shè)點的坐標為．

過點作軸的垂線，設(shè)垂足為點，則有．

因為點在直線上，所以有．

因為紙板為平行移動，故有，即．

又，所以．

法一：故，

從而有．

得，．

所以．

又有．

所以，得，而，

從而總有．

法二：故，可得．

故．

所以．

故點坐標為．

設(shè)直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，

則有解得

所以，直線所對的函數(shù)關(guān)系式為．

將點的坐標代入，可得．解得．

而，從而總有．

②由①知，點的坐標為，點的坐標為．

．

當(dāng)時，有最大值，最大值為．

取最大值時點的坐標為．

【解析】（1）根據(jù)圖形得到知兩點的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出直線函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)圖形得到點的坐標從而求出直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．根據(jù)點在直線設(shè)出P點的坐標.利用平移得到以及又，所以，然后得到三角形相似，從而得出線段成比例，從而證明h=BH.(3)將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為.設(shè)出點的坐標為，點的坐標為，表示出，從而得到相應(yīng)的二次函數(shù).利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得陰影部分面積的最大值.