Question

（2012•昌平區(qū)一模）如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點(diǎn)，AE是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，且AC平分∠PAE，過點(diǎn)C作CD⊥PA于D．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AD：DC=1：3，AB=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）連接OC，根據(jù)OA=OC推出∠OCA=∠OAC，根據(jù)角平分線得出∠OCA=∠OAC=∠CAP，推出OC∥AP，得出OC⊥CD，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）過O作OM⊥AB于M，得出矩形OMDC，推出OM=CD，OC=AM+AD，求出AM的長，設(shè)AD=x，則DC=OM=3x，OA=OC=DM=DA+AM=x+4，得出方程（x+4）²=4²+（3x）²，求出x的值即可求出⊙O的半徑．

解答：（1）證明：連接OC．
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA．
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC．
∵CD⊥PA，
∴∠ADC=∠OCD=90°，
即 CD⊥OC，點(diǎn)C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切線．   
              
（2）解：過O作OM⊥AB于M．
即∠OMA=90°，
∵AB=8，
∴由垂徑定理得：AM=4，
∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°，
∴四邊形DMOC是矩形，
∴OC=DM，OM=CD．
∵AD：DC=1：3，
∴設(shè)AD=x，則DC=OM=3x，OA=OC=DM=DA+AM=x+4，
∵在Rt△AMO中，∠AMO=90°，根據(jù)勾股定理得：AO²=4²+OM²．
∴（x+4）²=4²+（3x）²，
解得 x₁=0（不合題意，舍去），x₂=1．
則 OA=MD=x+4=5．
∴⊙O的半徑是5．

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理、垂徑定理、切線的判定、平行線的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，用了方程思想．