Question

如圖所示，Rt△ABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的紙片，點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，已知OA＝3，OB＝4．將紙片的直角部分翻折，使點(diǎn)C落在AB邊上，記為D點(diǎn)，AE為折痕，E在y軸上．

(1)在圖所示的直角坐標(biāo)系中，求E點(diǎn)的坐標(biāo)及AE的長(zhǎng)．

(2)線段AD上有一動(dòng)點(diǎn)P(不與A、D重合)自A點(diǎn)沿AD方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向D點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0＜t＜3)，過(guò)P點(diǎn)作PM∥DE交AE于M點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥AD交DE于N點(diǎn)，求四邊形PMND的面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)t取何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？

(3)當(dāng)t(0＜t＜3)為何值時(shí)，A、D、M三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形？并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1) 　　據(jù)題意，△AOE≌△ADE 　　∴OE＝DE，∠ADE＝∠AOE＝90°，AD＝AO＝3 　　在Rt△AOB中， 　　 　　設(shè)DE＝OE＝x 　　在Rt△BED中 　　BD2＋DE2＝BE2 　　即22＋x2＝(4－x)2 　　解得 　　∴E(0，) 　　在Rt△AOE中 　　 　　(2)∵PM∥DE，MN∥AD，且∠ADE＝90° 　　∴四邊形PMND是矩形 　　∵AP＝t×1＝t 　　∴PD＝3－t 　　∵△AMP∽△AED 　　∴ 　　∴PM＝ 　　∴ 　　∴或 　　當(dāng)時(shí) 　　 　　(3)△ADM為等腰三角形有以下二種情況 　�、佼�(dāng)MD＝MA時(shí)，點(diǎn)P是AD中點(diǎn) 　　∴ 　　∴(秒) 　　∴當(dāng)時(shí)，A、D、M三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形 　　過(guò)點(diǎn)M作MF⊥OA于F 　　∵△APM≌△AFM 　　∴AF＝AP＝，MF＝MP＝ 　　∴OF＝OA－AF＝3－ 　　∴M(，) 　　②當(dāng)AD＝AM＝3時(shí) 　　△AMP∽△AED 　　∴ 　　∴ 　　∴ 　　∴(秒) 　　∴當(dāng)秒時(shí)，A、D、M三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形 　　過(guò)點(diǎn)M作MF⊥OA于F 　　∵△AMF≌△AMP 　　∴AF＝AP＝，FM＝PM＝ 　　∴OF＝OA－AF＝3－ 　　∴M(，)