Question

如圖，拋物線y=x²+bx﹣c經(jīng)過直線y=x﹣3與坐標(biāo)軸的兩個交點A、B，此拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）點P為拋物線上的一個動點，求使S_△APC：S_△ACD=5：4的點P的坐標(biāo)；

（3）點M為平面直角坐標(biāo)系上一點，寫出使點M、A、B、D為平行四邊形的點M的坐標(biāo)．

Answer 1

 

分析： （1）對于一次函數(shù)y=x﹣3，分別令x與y為0求出對應(yīng)y與x的值，確定出A與B的坐標(biāo)，代入拋物線解析式得到關(guān)于b與c的方程組，求出方程組的解得到b與c的值，即可確定出拋物線解析式；

（2）由拋物線解析式求出C與D坐標(biāo)，根據(jù)P為拋物線上的點，設(shè)P（a，a²﹣2a﹣3），三角形APC由AC為底，P縱坐標(biāo)絕對值為高，利用三角形面積表示出，三角形ACD面積由AC為底，D縱坐標(biāo)絕對值為高表示出，根據(jù)題意列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可確定出此時P的坐標(biāo)；

（3）畫出圖形，如圖所示，根據(jù)題意得到A、B、C分別為M₁M₃、M₁M₂、M₂M₃的中點，由四邊形ADBM₁為平行四邊形，利用平行四邊形的對角線互相平分得到AB與M₁D互相平分，即E為AB中點，E為M₁D中點，根據(jù)A與B的坐標(biāo)求出E的坐標(biāo)，再利用線段中點坐標(biāo)公式求出M₁坐標(biāo)；進(jìn)而求出M₂、M₃的坐標(biāo)即可．

解答： 解：（1）∵直線y=x﹣3與坐標(biāo)軸的兩個交點A、B，

∴點B（0，﹣3），點A（3，0），

將A與B坐標(biāo)代入拋物線y=x²+bx﹣c得：，

解得：c=3，b=﹣2，

則拋物線的解析式是y=x²﹣2x﹣3；

 

（2）∵拋物線的解析式是y=x²﹣2x﹣3，

∴C（﹣1，0），頂點D（1，﹣4），

由點P為拋物線上的一個動點，故設(shè)點P（a，a²﹣2a﹣3），

∵S_△APC：S_△ACD=5：4，

∴（×4×|a²﹣2a﹣3|）：（×4×4）=5：4，

整理得：a²﹣2a﹣3=5或a²﹣2a﹣3=﹣5（由△＜0，得到無實數(shù)解，舍去），

解得：a₁=4，a₂=﹣2，

則滿足條件的點P的坐標(biāo)為P₁（4，5），P₂（﹣2，5）；

 

（3）如圖所示，A、B、C分別為M₁M₃、M₁M₂、M₂M₃的中點，

∵四邊形ADBM₁為平行四邊形，

∴AB與M₁D互相平分，即E為AB中點，E為M₁D中點，

∵A（3，0），B（0，﹣3），

∴E（，﹣），

又∵D（1，﹣4），

∴M₁（2，1），

∴M₂（﹣2，﹣7），M₃（4，﹣1），

則滿足題意點M的坐標(biāo)為：M₁（2，1），M₂（﹣2，﹣7），M₃（4，﹣1）．