Question

如圖，直線y＝hx＋d與x軸和y軸分別相交于點(diǎn)A(－1，0)，B(0，1)，與雙曲線y＝在第一象限相交于點(diǎn)C；以AC為斜邊、∠CAO為內(nèi)角的直角三角形，與以CO為對(duì)角線、一邊在x軸上的矩形面積相等；點(diǎn)C，P在以B為頂點(diǎn)的拋物線y＝mx²＋nx＋k上；直線y＝hx＋d、雙曲線y＝和拋物線y＝ax²＋bx＋c同時(shí)經(jīng)過兩個(gè)不同的點(diǎn)C，D．

(1)確定t的值

(2)確定m，n，k的值

(3)若無論a，b，c取何值，拋物線y＝ax²＋bx＋c都不經(jīng)過點(diǎn)P，請(qǐng)確定P的坐標(biāo)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)直線過點(diǎn)A，B，則0＝－h(huán)＋d和1＝d，即y＝x＋1．1分 　　雙曲線y＝經(jīng)過點(diǎn)C(x1，y1)，x1y1＝t． 　　以AC為斜邊，∠CAO為內(nèi)角的直角三角形的面積為×y1×(1＋x1)； 　　以CO為對(duì)角線的矩形面積為7x1y1， 　　×y1×(1＋x1)＝x1y1，因?yàn)閤1，y1都不等于0，故得x1＝1，所以y1＝2. 　　故有，，即t＝2．2分 　　(2)∵B是拋物線y＝mx2＋nx＋k的頂點(diǎn)，∴有－， 　　得到n＝0，k＝1．3分 　　∵C是拋物線y＝mx2＋nx＋k上的點(diǎn)，∴有2＝m(1)2＋1，得m＝1．4分 　　(3)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為p，則縱坐標(biāo)為p2＋1. 　　∵拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過兩個(gè)不同的點(diǎn)C，D7， 　　其中求得D點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－1)．5分. 　　解法一： 　　故2＝a＋b＋c， 　�。�1＝4a－2b＋c． 　　解之得，b＝a＋1，c＝1－2A．6分 　　(說明：如用b表示a，c，或用c表示a，b，均可，后續(xù)參照得分) 　　∴y＝ax2＋(a＋1)x＋(1－2a) 　　于是：p2＋1≠a，p2＋(a＋1)p＋(1－2a)　　7分 　　∴無論a取什么值都有p2－p≠(p2＋p－2)a．8分 　　(或者，令p2－p＝(p2＋p－2)a　　7分 　　∵拋物線y＝ax2＋bx＋c不經(jīng)過P點(diǎn)， 　　∴此7方程無解，或有解但不合題意8分) 　　故∵a≠0，∴① 　　解之p＝0，p＝1，并且p≠1，p≠－2．得p＝0．9分 　　∴符合題意的P點(diǎn)為(0，1)．　　10分 　�、�，解之p＝1，p＝－2，并且p≠0，p≠1． 　　得p＝－2．　　11分 　　符合題意的P點(diǎn)為(－2，5)．　　12分 　　∴符合題意的P點(diǎn)有兩個(gè)(0，1)和(－2，5)． 　　解法二： 　　則有(a－1)p2＋(a＋1)p－2a＝0　　7分 　　即〔(a－1)p＋2a〕(p－1)＝0 　　有p－1＝0時(shí)，得p＝1，為(1，2)此即C點(diǎn)，在y＝ax2＋bx＋c上．8分 　　或(a－1)p＋2a＝0，即(p＋2)a＝p 　　當(dāng)p＝0時(shí)a＝0與a≠0矛盾　　9分 　　得點(diǎn)P(0，1)　　10分 　　或者p＝－2時(shí)，無解　　11分 　　得點(diǎn)P(－2，5)　　12分 　　故對(duì)任意a，b，c，拋物線y＝ax2＋bx＋c都不經(jīng)過(0，1)和(－2，5) 　　解法三： 　　如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c不經(jīng)過直線CD上除C，D外的其他點(diǎn)． 　　(只經(jīng)過直線CD上的C，D點(diǎn))．　　6分 　　由　　7分 　　解得交點(diǎn)為C(1，2)，B(0，1)． 　　故符合題意的點(diǎn)P為(0，1)．8分 　　拋物線y＝ax2＋bx＋c不經(jīng)過直線x＝－2上除D外的其他點(diǎn)．9分 　　由　　10分 　　解得交點(diǎn)P為(－2，5)．11分 　　拋物線y＝ax2＋bx＋c不經(jīng)過直線x＝1上除C外的其他點(diǎn)， 　　而解得交點(diǎn)為C(1，2)．12分 　　故符合條件的點(diǎn)P為(0，1)或(－2，5) 　　(說明：1僅由圖形看出一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)給1分，二個(gè)看出來給2分2解題過程敘述基本清楚即可)