Question

12．已知一次函數(shù)分別交x，y軸于點A（3$\sqrt{3}$，0），B（0，3），點M是AB的中點．
（1）將△BOM沿OM翻折后點B落在B′，求直線BB′的解析式；
（2）若以點O、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由點M是AB的中點可求得點M的坐標(biāo)，依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得∠BAO=30°，然后依據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)可證得OB=BM，由軸對稱圖形的性質(zhì)可知：BM=B′M，OB=OB′，從而可證明四邊形BOB′M是菱形．從而可求得B′（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．最后依據(jù)待定系數(shù)法可求得直線BB′的解析式；
（2）如圖2所示：分為MN為四邊形的邊或MN為四邊形的對角線兩種情況畫出圖形，然后依據(jù)對邊平行且相的等的四邊形、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可確定出點N的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1所示：

∵A（3$\sqrt{3}$，0），B（0，3），
∴OB=3，OA=3$\sqrt{3}$．
∴tan∠BAO=$\frac{3}{3\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴∠BAO=30°．
∴OB=$\frac{1}{2}$AB．
∵M是AB的中點，
∴MB=MA=$\frac{1}{2}$AB．
∴OB=BM．
∵點B與點B′關(guān)于OM對稱，
∴BM=B′M，OB=OB′．
∴OB=OB′=MB′=MB．
∴四邊形BOB′M是菱形．
∴MB′∥OB，MB′=OB=3．
∵M是AB的中點，
∴M（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
∴B′（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．
設(shè)直線BB′的解析式為y=kx+3．
∵將B′的坐標(biāo)代入得：$\frac{3\sqrt{3}}{2}k$+3=$-\frac{3}{2}$，解得：k=-$\sqrt{3}$，
∴直線BB′的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+3．
（2）如圖2所示：

由（1）可知點N的坐標(biāo)為（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．
如圖3所示：

當(dāng)MN∥OB，且MN=OB時，四邊形BOMN為平行四邊形，
∵M（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），OB=MN=3，
∴N（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{9}{2}$）．
如圖4所示：當(dāng)CM=CN，BC=OC時，四邊形BOMN為平行四邊形．

∵M是AB的中點，∠BOA=90°，
∴OM=BM．
又∵BC=OC，
∴MN⊥OB．
又∵NC=CM，
∴點N與點M關(guān)于y軸對稱．
∴點N的坐標(biāo)為（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、含30度直角三角形的性質(zhì)、特殊銳角三角函數(shù)值、菱形的性質(zhì)和判定、平行四邊形的判定，根據(jù)題意畫出符合題意得圖形是解題的關(guān)鍵．