Question

已知，，是的平分線，點P在上，．將三角板的直角頂點放置在點P處，繞著點P旋轉(zhuǎn)，CB交于點E，另一條直角邊與直線CA、直線CB分別交于點F、點G．
（1）如圖9，當(dāng)點F在射線CA上時，①求證： PF = PE．②設(shè)CF= x，EG=y，求y與x的函數(shù)解析式并寫出函數(shù)的定義域．
（2）聯(lián)結(jié)EF，當(dāng)△CEF與△EGP相似時，求EG的長．
                                 

Answer 1

（1） ①證明：過點P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分別為M、N．
∵ 是 的平分線，
∴PM=PN．
由 ，
得 ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴△PMF≌△PNE．
∴PF=PE．

②解：
∵ ，
∴ ．
∵△PMF≌△PNE，
∴ ．
∴ ．
∵CF∥PN，
∴ ．
∴ ．
∴ （0≤x＜1）．

（2）當(dāng)△CEF與△EGP相似時，點F的位置有兩種情況：
①當(dāng)點F在射線CA上時，
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
在Rt△EGP中， ．
 

②當(dāng)點F在AC延長線上時，
∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
易證 ，
可得 ．
∴ ．
∴ ．
易證△PMF≌△PNE，
可得 ．
∵CF∥PN，
∴ ．
∴．
∴ ．