Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)格點(diǎn)A、B、C作一圓弧．
（1）直接寫(xiě)出該圓弧所在圓的圓心D的坐標(biāo)； 
（2）求弧AC的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）；
（3）連接AC、BC，則sinC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過(guò)圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心，寫(xiě)出圓心坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理以及弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可；
（3）根據(jù)正弦的定義計(jì)算即可．

解答 解：（1）根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過(guò)圓心，
作弦AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)D即為圓心．
如圖1所示，則圓心D的坐標(biāo)是（2，0）；
（2）由圖1可知，∠ADC=90°，AD=$\sqrt{5}$，
∴弧AC的長(zhǎng)為：$\frac{90π×\sqrt{5}}{180}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$π；
（3）如圖2，由勾股定理得AE=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{10}$，
由正方形的性質(zhì)和格點(diǎn)的性質(zhì)可知，∠AEC=90°，
則sinC=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是垂徑定理、勾股定理、弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心、弧長(zhǎng)的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．