Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²+2px-p²-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁和x₂．
（1）若此方程的兩根之和不大于兩根之積，求p的值；
（2）若p=-1，求x₁³+2x₂²+2x₂的值．

Answer 1

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系,根的判別式

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-2p，x₁x₂=-p²-1，則-2p≤-p²-1，變形有（p-1）²≤0，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得p=1；
（2）當(dāng)p=-1時(shí)，原方程變形為x²-2x-2=0，根據(jù)一元二次方程根的定義得到x₁²-2x₁-2=0，x₂²-2x₂-2=0，即x₁²=2x₁+2，x₂²=2x₂+2，原式可化簡為x₁（2x₁+2）+2（2x₂+2）+2x₂=2x₁²+2x₁+6x₂+4=6（x₁+x₂）+8，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=2，再利用整體代入的方法計(jì)算即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意得x₁+x₂=-2p，x₁x₂=-p²-1，
∵方程的兩根之和不大于兩根之積，
∴-2p≤-p²-1，
即p²-2p+1≤0，
∴（p-1）²≤0，
∴p=1；
（2）當(dāng)p=-1時(shí)，原方程變形為x²-2x-2=0，
∵x²-2x-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁和x₂，
∴x₁²-2x₁-2=0，x₂²-2x₂-2=0，
即x₁²=2x₁+2，x₂²=2x₂+2，
∴x₁³+2x₂²+2x₂=x₁（2x₁+2）+2（2x₂+2）+2x₂
=2x₁²+2x₁+6x₂+4
=2（2x₁+2）+2x₁+6x₂+4
=6（x₁+x₂）+8，
∵x₁+x₂=2，
∴x₁³+2x₂²+2x₂=6×2+8=20．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．