Question

已知：△ABD和△CBD關(guān)于直線BD對(duì)稱(chēng)(點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)C)，點(diǎn)E、F分別是線段BC和線段BD上的點(diǎn)，且點(diǎn)F在線段EC的垂直平分線上，連接AF、AE，AE交BD于點(diǎn)G．

(1)圖l，求證：∠EAF＝∠ABD；

(2)圖2，當(dāng)AB＝AD時(shí)，M是線段AG上一點(diǎn)，連接BM、ED、MF，MF的延長(zhǎng)線交ED于點(diǎn)N，∠MBF＝∠BAF，AF＝AD，試探究線段FM和FN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)連接FE、FC，先證△ABF、△CBF全等，得∠FEC＝∠BAF，通過(guò)四邊形ABEF與三角形AEF內(nèi)角和導(dǎo)出；(2)先由△AFG∽△BFA，推出∠AGF＝∠BAF，再得BG＝MG，通過(guò)△AGF∽△DGA，導(dǎo)出GD＝a，F(xiàn)D＝a，過(guò)點(diǎn)F作FQ∥ED交AE于Q，通過(guò)BE∥AD德線段成比例設(shè)EG＝2kBG＝MG＝3k，GQ＝EG＝，MQ＝3k＋＝，從而FM＝FN本題綜合考查了相似三角形線段之間的比例關(guān)系、平行線分線段成比例定理等重要知識(shí)點(diǎn)，難度較大．在解題過(guò)程中，涉及到數(shù)目較多的線段比，注意不要出錯(cuò) 　　解答：(1)證明：圖1連接FE、FC 　　∵點(diǎn)F在線段EC的垂直平分線上 　　∴．FE＝FC　∴∠l＝∠2　∵△ABD和△CBD關(guān)于直線BD對(duì)稱(chēng)．∴AB＝CB∠4＝∠3　BF＝BF 　　∴△ABF≌ACBF　∴∠BAF＝∠2　FA＝FC∴FE＝FA　∠1＝∠BAF．∴∠5＝∠6　∵∠l＋∠BEF＝180°∠BAF＋∠BEF＝180° 　　∵∠BAF＋∠BEF＋∠AFE＋∠ABE＝360°　∴．∠AFE＋∠ABE＝180°又∵∠AFE＋∠5＋∠6＝180° 　　∴∠5＋∠6＝∠3＋∠4 　　∴∠5＝∠4 　　即∠EAF＝∠ABD 　　(2)FM＝FN　證明：圖2由(1)可知∠EAF＝∠ABD 　　又∵∠AFB＝∠GFA∴△AFG∽△BFA 　　∴∠AGF＝∠BAF 　　又∵∠MBF＝∠BAF．∠MBF＝∠AGF 　　又∵∠AGF＝∠MBG＋∠BMG 　　∴∠MBG＝∠BMG∴BG＝MG 　　∵AB＝AD∴∠ADB＝∠ABD＝∠EAF 　　又∵∠FGA＝∠AGD∴△AGF∽△DGA 　　∵AF＝AD 　　設(shè)GF＝2a 　　AG＝3A 　　∴GD＝a 　　∴FD＝＝a∵∠CBD＝∠ABD 　　∠ABD＝∠ADB 　　∴．∠CBD＝∠ADB∴BE//AD 　　∴ 　　設(shè)EG＝2k∴BG＝MG＝3k 　　過(guò)點(diǎn)F作FQ∥ED交AE于Q 　　∴ 　　∴GQ＝EG＝．MQ＝3k＋＝ 　　∵FQ∥ED 　　∴FM＝FN

提示：

考點(diǎn)：本題考查了三角形全等的判斷和性質(zhì)，相似三角形的判斷和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，三角形四邊形內(nèi)角和，線段的垂直平分線性質(zhì)要求較高的視圖能力和證明推理能力．