Question

10．已知如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)分別為（-1，0），（0，$\sqrt{3}$），連結(jié)AB，OD由△AOB繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°而得．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°所掃過(guò)的面積；
（3）線段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°所掃過(guò)的面積．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過(guò)C作CE⊥OA于E，由點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)分別為（-1，0），（0，$\sqrt{3}$），得到OA=1，OB=$\sqrt{3}$，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠AOC=∠BOD=60°，AO=OC=1，解直角三角形即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論；

解答 解：（1）如圖1，過(guò)C作CE⊥OA于E，
∵點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)分別為（-1，0），（0，$\sqrt{3}$），
∴OA=1，OB=$\sqrt{3}$，
∵△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△COD，
∴∠AOC=∠BOD=60°，AO=OC=1，
∴OE=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$，CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴C（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；

（2）△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°所掃過(guò)的面積=$\frac{60π•{1}^{2}}{360}$+$\frac{60π•（\sqrt{3}）^{2}}{360}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}×\sqrt{3}$=$\frac{2}{3}$π+$\frac{\sqrt{3}}{4}$；

（3）如圖2，線段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°所掃過(guò)的面積═（$\frac{60π•{1}^{2}}{360}$-1×$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2}$）+（$\frac{3}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2}$-$\frac{60•π×（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}{360}$）+（$\frac{60•π×（\sqrt{3}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{2}$）=$\frac{13}{24}$π+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換及扇形面積的計(jì)算，熟記扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．