Question

如圖，正方形ABCD與正方形OMNP的邊長均為10，點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，證明：無論正方形OMNP旋轉(zhuǎn)到何種位置，這兩個(gè)正方形重疊部分的面積總是一個(gè)定值，并求這個(gè)定值．

Answer 1

解：當(dāng)OP∥AD或OP經(jīng)過C點(diǎn)，重疊部分的面積顯然為正方形的面積的，
即25，當(dāng)OP在如圖位置時(shí)，過O分別作CD，BC的垂線垂足分別為E、F，
如圖在Rt△OEG與Rt△OFH中，∠EOG=∠HOF，OE=OF=5，
∴△OEG≌△OFH，
∴S_{四邊形OHCG}=S_{四邊形OECF}=25，即兩個(gè)正方形重疊部分的面積為25．
分析：本題可分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)OP過C點(diǎn)的時(shí)候，重疊的部分是三角形OBC，此時(shí)面積是正方形的，即25．
當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置時(shí)，重疊的部分是個(gè)四邊形．可通過構(gòu)建全等三角形來將面積進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換，過O分別作CD，BC的垂線垂足分別為E、F．那么OECF就應(yīng)該是個(gè)正方形．OE=OF=5，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)我們可得出∠EOG=∠HOF，三角形EOG和三角形FOH中又有一組直角，因此兩三角形全等，那么他們的面積就相等，于是我們發(fā)現(xiàn)四邊形OGCH的面積正好是正方形OECF的面積即為25．
點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定等知識點(diǎn)，本題利用構(gòu)建全等三角形來將所求的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．