Question

【題目】如圖，在△ABC中，O是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的角平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F.

（1）求證：EO=FO；（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論；

（3）若AC邊上存在點(diǎn)O，使四邊形AECF是正方形且，求∠B的大小.

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD及等角對(duì)等邊即可證得OE=OF；

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知：對(duì)角線且互相平分，即AO=CO，OE=OF，故當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形；

（3）當(dāng)四邊形AECF是正方形時(shí)，可得：AO⊥EF，又BC∥EF，則AC⊥BC，在正方形AECF中，AC=AE，根據(jù)，可得：tanB=，故∠B=60°．

解：（1）證明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，

∴OE=OC，OC=OF，

∴OE=OF．

（2）當(dāng)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，

∵AO=CO，OE=OF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵∠ECA+∠ACF=∠BCD，

∴∠ECF=90°，

∴四邊形AECF是矩形．

（3）當(dāng)四邊形AECF是正方形時(shí)，AO⊥EF，AC=AE，

∵BC∥EF，

∴AC⊥BC.

∵，

∴BC= AE，

∴tanB=，

∴∠B=60°．