Question

8．如圖，已知⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，OD∥BC，交⊙O于點D，交AC于點E，連接BD，BD交AC于點F，延長AC到點P，連接PB．
（1）若PF=PB，求證：PB是⊙O的切線；
（2）如果AB=10，cos∠ABC=$\frac{3}{5}$，求CE的長度．

Answer 1

分析 （1）欲證明PB是⊙O的切線，只需推知∠ABP=90°即可；
（2）通過解直角三角形得到AC=8，易得OD垂直平分AC．則CE=$\frac{1}{2}$AC=4．

解答 （1）證明：如圖，∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
又∵OD∥BC，
∴∠CBD=∠ODB．
∴∠CBD=∠OBD．
∵PF=PB，
∴∠PFB=∠PBF，
又∵AB是圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，即∠BCF=90°，
∴∠PFB+∠CBD=90°，
∴∠PBF+∠OBD=90°．
又∵AB是直徑，
∴PB是⊙O的切線；

（2）解：∵AB=10，cos∠ABC=$\frac{3}{5}$，∠ACB=90°，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，即$\frac{BC}{10}$=$\frac{3}{5}$，
則BC=6．
則AC=8
又∵OD∥BC，點O是AB的中點，
∴OD垂直平分AC．則CE=$\frac{1}{2}$AC=4．

點評 本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．