Question

4．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A（-3，0）、B（0，3）、C（1，0）三點．
（1）求拋物線的解析式和它的頂點坐標(biāo)；
（2）若在該拋物線的對稱軸l上存在一點M，使MB+MC的值最小，求點M的坐標(biāo)以及MB+MC的最小值；
（3）若點P、Q分別是拋物線的對稱軸l上兩動點，且縱坐標(biāo)分別為m，m+2，當(dāng)四邊形CBQP周長最小時，求出此時點P、Q的坐標(biāo)以及四邊形CBQP周長的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點坐標(biāo)；
（2）根據(jù)函數(shù)值相等的兩點關(guān)于對稱軸對稱，可得A、C關(guān)于對稱軸對稱，根據(jù)兩點之間線段最短，可得AB，根據(jù)勾股定理，可得AB的長，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得M的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得BQ=PD，BD=PQ，根據(jù)函數(shù)值相等的兩點關(guān)于對稱軸對稱，可得A、C關(guān)于對稱軸對稱，根據(jù)兩點之間線段最短，可得AD，根據(jù)勾股定理，可得AD的長，BC的長，根據(jù)等量代換，可得BC+PQ++AD，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得P點坐標(biāo)，根據(jù)PQ的關(guān)系，可得Q點坐標(biāo)．

解答 解：（1）將A、B、C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{c=3}\\{a+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-x²-2x+3，
配方，得y=-（x+1）²+4，即頂點坐標(biāo)為（-1，4）；
（2）連接AB交對稱軸于M，連接MC，如圖1，
由A、C關(guān)于對稱軸對稱，得AM=MC．
由兩點間線段最短，得
MB+MC=AM+MB=AB．
由勾股定理，得AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
即MB+MC=3$\sqrt{2}$，
設(shè)AB的解析式為y=kx+b，將A、B坐標(biāo)代入解得k=1，b=3，
AB的解析式為y=x+3，
當(dāng)x=-1時，y=2，即M（-1，2）；
（3）將B點向下平移兩個單位，得D點，連接AD交對稱軸于P，作BQ∥PD交對稱軸于Q點，
如圖2，
PQ∥BD，BQ∥PD，四邊形BDPQ是平行四邊形，
BQ=PD，PQ=BD=2．
BQ+PC=PD+AP=AD．
由勾股定理，得AD=$\sqrt{A{O}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，BC$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
四邊形CBQP周長的最小值=BC+BQ+PQ+PC
=BC+PQ+（BQ+PC）
=BC+PQ++AD
=$\sqrt{10}$+2+$\sqrt{10}$=2$\sqrt{10}$+2；
設(shè)AD的解析式為y=kx+b，將A、D點坐標(biāo)代入解得k=$\frac{1}{3}$，b=1．
AD的解析式為y=$\frac{1}{3}$x+1，
當(dāng)x=-1時，y=$\frac{2}{3}$，即P（-1，$\frac{2}{3}$），
由PQ=2，得Q（-1，$\frac{8}{3}$），
當(dāng)四邊形CBQP周長最小時，此時點P（-1，$\frac{2}{3}$），Q的坐標(biāo)（-1，$\frac{8}{3}$），
四邊形CBQP周長的最小值是2$\sqrt{10}$+2．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用兩點之間線段最短得出AB=BM+CM是解題關(guān)鍵；利用平行四邊形的性質(zhì)得出BQ=PD，BD=PQ是解題關(guān)鍵，又利用了軸對稱的性質(zhì)，線段的性質(zhì)．