Question

3．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm．點P從A出發(fā)，沿AB方向，以2cm/s的速度向點B運動，點Q從C出發(fā)，沿CA方向，以1cm/s的速度向點A運動；若兩點同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為t（s），△APQ的面積為S（cm²）
（1）t=2時，則點P到AC的距離是$\frac{16}{5}$cm，S=$\frac{32}{5}$cm²；
（2）t為何值時，PQ⊥AB；
（3）t為何值時，△APQ是以AQ為底邊的等腰三角形；
（4）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）作PH⊥AC于H，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到比例式，計算求出點P到AC的距離，根據(jù)三角形的面積公式求出△APQ的面積；
（2）根據(jù)相似三角形的判定定理證明△APQ∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可；
（3）根據(jù)等腰三角形的三線合一和相似三角形的性質(zhì)解答即可；
（4）根據(jù)題意列出二次函數(shù)解析式，運用配方法把一般式化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．

解答 解：經(jīng)過t（s），AP=2t，CQ=t，AQ=6-t，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm
由勾股定理可求出AB=10cm，
（1）如圖1，作PH⊥AC于H，
當t=2時，AP=4cm，AQ=6-2=4cm，
∵∠C=90°，PH⊥AC，
∴PH∥BC，
∴$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，即$\frac{PH}{8}$=$\frac{4}{10}$，
解得PH=$\frac{16}{5}$cm，
S=$\frac{1}{2}$×AQ×PH=$\frac{32}{5}$cm²．
故答案為$\frac{16}{5}$；$\frac{32}{5}$；
（2）當PQ⊥AB時，又∠C=90°，
∴△APQ∽△ACB，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AQ}{AB}$，即$\frac{2t}{6}$=$\frac{6-t}{10}$，
解得t=$\frac{18}{13}$．
答：t=$\frac{18}{13}$時，PQ⊥AB；
（3）如圖1，當△APQ是以AQ為底邊的等腰三角形時，
AH=$\frac{1}{2}$AQ，
∵△APQ∽△ACB，
∴$\frac{AH}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，即$\frac{AH}{6}$=$\frac{2t}{10}$，
解得AH=$\frac{6}{5}$t，
∴$\frac{6}{5}$t=$\frac{1}{2}$（6-t），
解得，t=$\frac{30}{17}$，
∴當t=$\frac{30}{17}$ 時，△APQ是以AQ為底邊的等腰三角形；
（4）∵△APQ∽△ACB，
∴$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，即$\frac{PH}{8}$=$\frac{2t}{10}$，
解得，PH=$\frac{8}{5}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$×AQ×PH=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{5}$t×（6-t）=-$\frac{4}{5}$（t-3）²+$\frac{36}{5}$，
∴t=3時，S_最大=$\frac{36}{5}$．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、正確運用配方法把二次函數(shù)一般式化為頂點式是解題的關(guān)鍵．