Question

如圖，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分線MN交AC于點D，則下列結(jié)論中成立的有（　　）
①∠C=72°；②BD是∠ABC的平分線；③△ABD是等腰三角形；④△BCD∽△ABC．

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：由△ABC中，∠A=36°，AB=AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理，即可求得∠C的度數(shù)；又由線段垂直平分線的性質(zhì)，易證得△ABD是等腰三角形，繼而可求得∠ABD與∠DBC的度數(shù)，證得BD是∠ABC的平分線，然后由∠DBC=∠A=36°，∠C是公共角，證得△BCD∽△ABC．

解答：解：∵△ABC中，∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=

180°-∠A

2

=72°，
故①正確；
∵DM是AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰三角形；
故③正確；
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，
∴∠ABD=∠DBC，
∴BD是∠ABC的平分線；
故②正確；
∵∠DBC=∠A=36°，∠C是公共角，
∴△BCD∽△ABC．
故④正確．
故選D．

點評：此題考查了相似三角形的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．